확률과 통계통계적 추정수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

모평균 신뢰구간

문제

어느 공장에서 생산되는 제품 AA의 무게는 평균이 mm, 표준편차가 σ\sigma인 정규분포를 따른다고 한다. 이 공장에서 생산된 제품 AA 중 64개를 임의추출하여 얻은 모평균 mm에 대한 신뢰도 95%의 신뢰구간이 α≤m≤β\alpha \leq m \leq \beta이다. β−α=9.8\beta - \alpha = 9.8일 때, σ\sigma의 값은? (단, 무게의 단위는 gg이고, ZZ가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때 P(∣Z∣≤1.96)=0.95P \left( \left| Z \right| \leq 1.96 \right) = 0.95로 계산한다.) [4점]

①12②14③16④18⑤20

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⑤

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해설

[출제의도] 모평균의 신뢰구간 추정하기 크기가 64인 표본을 임의추출하여 얻은 표본평균의 값을 x‾\displaystyle {\overline{x}}라 하면 모평균 mm에 대한 신뢰도 95%의 신뢰구간은 x‾−1.96×σ64≤m≤x‾+1.96×σ64\displaystyle {\overline{x}} - 1.96 \times \frac{\sigma}{\sqrt{64}} \leq m \leq {\overline{x}} + 1.96 \times \frac{\sigma}{\sqrt{64}} 이므로 β−α=2×1.96×σ8=9.8\displaystyle \beta - \alpha = 2 \times 1.96 \times \frac{\sigma}{8} = 9.8 ∴σ=20\therefore \sigma = 20

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