확률과 통계통계적 추정수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

모평균 신뢰구간

문제

어느 회사에서 생산하는 초콜릿 한 개의 무게는 평균이 mm, 표준편차가 σ\sigma인 정규분포를 따른다고 한다. 이 회사에서 생산하는 초콜릿 중에서 임의추출한, 크기가 4949인 표본을 조사하였더니 초콜릿 무게의 표본평균의 값이 x‾\displaystyle \overline{x}이었다. 이 결과를 이용하여, 이 회사에서 생산하는 초콜릿 한 개의 무게의 평균 mm에 대한 신회도 95%95 \%의 신뢰구간을 구하면 1.73≤m≤1.871.73 \leq m \leq 1.87이다. σx‾=k\displaystyle \frac{\sigma}{\overline{x}} = k일 때, 180k180 k의 값을 구하시오. (단, 무게의 단위는 g이고, ZZ가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때 P(0≤Z≤1.96)=0.475{\mathrm{P}} ( 0 \leq Z \leq 1.96 ) = 0.475로 계산한다.) [4점]

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해설

초콜릿 한 개의 무게는 정규분포 N(m,σ2){\mathrm{N}} ( m , \sigma ^{2} )을 따르고, 표본의　크기가 4949이므로 표본평균 x‾\displaystyle {\overline{x}}는 정규분포 N(m,σ249)\displaystyle {\mathrm{N}} \left( m , \frac{\sigma ^{2}}{49} \right)을 따른다．　 따라서 mm에 대한 신뢰도 9595％의 신뢰구간은　 x‾−1.96σ49≤m≤x‾+1.96σ49\displaystyle {\overline{x}} - 1.96 \frac{\sigma}{\sqrt{49}} \leq m \leq {\overline{x}} + 1.96 \frac{\sigma}{\sqrt{49}}이다．　 그러므로 x‾−1.96σ49=1.73\displaystyle {\overline{x}} - 1.96 \frac{\sigma}{\sqrt{49}} = 1.73, x‾+1.96σ49=1.87\displaystyle {\overline{x}} + 1.96 \frac{\sigma}{\sqrt{49}} = 1.87이고 이를 계산하면 x‾=1.8,σ=0.25\displaystyle {\overline{x}} = 1.8 , \sigma = 0.25 ∴180k=180×σx‾=180×0.251.8=25\displaystyle \therefore 180 k = 180 \times \frac{\sigma}{{\overline{x}}} = 180 \times \frac{0.25}{1.8} = 25

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#신뢰구간

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