모눈종이 도형 둘레

[출제의도] 무리수의 뜻을 이해하여 도형의 둘레의 길이를 구한다. 한 변의 길이가 $1$인 정사각형의 대각선의 길이는 $\displaystyle \sqrt{2}$이다. 다음과 같이 모양의 도형에서 각 꼭짓점을 차례로 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$, $\mathrm{D}$, $\mathrm{E}$, $\mathrm{F}$, $\mathrm{G}$, $\mathrm{H}$, $\mathrm{I}$, $\mathrm{J}$, $\mathrm{K}$ 라 하자.

이 도형의 각 변의 길이를 구하면 다음과 같다. $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = \sqrt{2}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{BC}} = 2 - \sqrt{2}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{CD}} = \sqrt{2}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{DE}} + {\overline{IH}} = 3 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2}$$\displaystyle = \sqrt{2}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{EF}} = 2$ $\displaystyle \mathrm{\overline{FG}} = \sqrt{2}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{GH}} = 2$ $\displaystyle \mathrm{\overline{IJ}} = \sqrt{2}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{JK}} = 2 - \sqrt{2}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{KA}} = \sqrt{2}$ 따라서 모양의 도형의 둘레의 길이는 $\displaystyle \left. \sqrt{2} + 2 \left( 2 - \sqrt{2} \right) + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 2 + \sqrt{2} + 2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \right.$ $\displaystyle = 8 + 4 \sqrt{2}$