모집단과 표본평균 확률

[출제의도]표본평균의 분포를 이용하여 확률을 계산할 수 있는가? $X$는 정규분포 $N ( m , 30 ^{2} )$을 따르므로 크기가 $9$인 표본평균 $\displaystyle \overline{X}$에 대하여 $\displaystyle E ( \overline{X} ) = m$, $\displaystyle \sigma ( \overline{X} ) = \frac{30}{\sqrt{9}} = 10$ 따라서, $\displaystyle \overline{X}$는 정규분포 $N ( m , 10 ^{2} )$을 따른다. $G ( k ) = P ( X \leq m + 30 k )$$\displaystyle = P \left( Z \leq \frac{m + 30 k - m}{30} \right)$$= P ( Z \leq k )$ $\displaystyle H ( k ) = P ( \overline{X} \geq m - 30 k )$$\displaystyle = P \left( Z \geq \frac{m - 30 k - m}{10} \right)$ $= P ( Z \geq - 3 k )$ ㄱ. $G ( 0 ) = P ( Z \leq 0 ) = 0.5$ $H ( 0 ) = P ( Z \geq 0 ) = 0.5$ ∴ $G ( 0 ) = H ( 0 )$ (참) ㄴ. $G ( 3 ) = P ( Z \leq 3 ) = 0.5 + P ( 0 \leq Z \leq 3 )$ $H ( 1 ) = P ( Z \geq - 3 ) = P ( - 3 \leq Z \leq 0 ) + 0.5$ $= P ( 0 \leq Z \leq 3 ) + 0.5$ ∴ $G ( 3 ) = H ( 1 )$ (참) ㄷ. $G ( 1 ) = P ( Z \leq 1 )$, $H ( - 1 ) = P ( Z \geq 3 )$이므로 $G ( 1 ) + H ( - 1 ) = P ( Z \leq 1 ) + P ( Z \geq 3 )$$= 1 - P ( 1 \leq Z \leq 3 )$ $P ( 1 \leq Z \leq 3 ) > 0$이므로 $G ( 1 ) + H ( - 1 ) < 1$ (거짓) 따라서 보기 중 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.