모자 나열 경우의 수

육군사관학교 모자를 $a$, 해군사관학교 모자를 $b$, 공군사관학교 모자를 $c$라 하면 $a$, $a$, $a$, $b$, $b$, $c$, $c$, $c$ 이 $8$개의 모자를 모두 일렬로 나열하는 경우의 수는 $\displaystyle \frac{8 !}{3 ! \times 2 ! \times 3 !} = 560$ (ⅰ) 양 끝에 모두 육군사관학교 모자가 놓이게 나열하는 경우의 수는 $\displaystyle \frac{6 !}{2 ! \times 3 !} = 60$ (ⅱ) 양 끝에 모두 해군사관학교 모자가 놓이게 나열하는 경우의 수는 $\displaystyle \frac{6 !}{3 ! \times 3 !} = 20$ (ⅲ) 양 끝에 모두 공군사관학교 모자가 놓이게 나열하는 경우의 수는 $\displaystyle \frac{6 !}{3 ! \times 2 !} = 60$ 이상에서 양 끝에 서로 같은 사관학교의 모자가 놓이도록 나열하는 경우의 수는 $60 + 20 + 60 = 140$ 따라서 양 끝에 다른 사관학교의 모자가 놓이도록 나열하는 경우의 수는 $560 - 140 = 420$