확률과 통계통계적 추정수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

모비율의 신뢰구간

문제

어느 도시의 중앙공원을 이용한 경험이 있는 주민의 비율을 알아보기 위하여 이 도시의 주민 중 nn명을 임의 추출하여 조사한 결과 80%80 \%가 이 중앙공원을 이용한 경험이 있다고 답하였다. 이 결과를 이용하여 구한 이 도시 주민 전체의 중앙공원을 이용한 경험이 있는 주민의 비율에 대한 신뢰도 95%95 \%의 신뢰구간이 [a,b]\left[ a , b \right]이다. b−a=0.098b - a = 0.098일 때, nn의 값을 구하시오. (단, ZZ가 표준정규분표를 따르는 확률변수일 때, P(∣Z∣≤1.96)=0.95P ( \left| Z \right| \leq 1.96 ) = 0.95로 계산한다.) [4점]

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해설

[출제의도] 표본비율을 이용하여 모비율을 추정할 수 있는가? 표본의 크기가 nn일 때 중앙공원을 이용한 경험이 있는 주민의 표본비율은 p‾=0.8\displaystyle \overline{p} = 0.8이므로 중앙공원을 이용한 경험이 있는 주민의 모비율 pp를 신뢰도 95%95 \%로 추정한 신뢰구간은 [0.8−1.96×0.8×0.2n,0.8+1.96×0.8×0.2n]\displaystyle \left[ 0.8 - 1.96 \times \sqrt{\frac{0.8 \times 0.2}{n}} , 0.8 + 1.96 \times \sqrt{\frac{0.8 \times 0.2}{n}} \right]이다. 그러므로 b−a=2×1.96×0.8×0.2n=0.098\displaystyle b - a = 2 \times 1.96 \times \sqrt{\frac{0.8 \times 0.2}{n}} = 0.098에서 n=2×1.96×0.40.098=16∴n=256\displaystyle \sqrt{n} = \frac{2 \times 1.96 \times 0.4}{0.098} = 16 \therefore n = 256

태그

#모비율의 추정#신뢰구간

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