확률과 통계통계적 추정수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

모비율 신뢰구간 길이

문제

A\mathrm{A}여론 조사 기관에서 어떤 드라마의 시청률을 조사하기 위해 임의로 추출한 10001000명을 대상으로 조사한 결과 100100명이 시청하였다고 한다. 이 결과를 이용하여 전체 시청자의 시청률을 신뢰도 95%95 \%로 신뢰구간을 구하였더니 [a,b][ a , b ]이었다. b−a≤0.002b - a \leq 0.002를 만족시키려면 최소한 pp명을 임의 추출하여 조사해야 한다. 이때, p\displaystyle \sqrt{p}의 값을 구하시오. (단, P(0≤Z≤1.96)=0.95\mathrm{P} ( 0 \leq \mathit{Z} \leq 1.96 ) = 0.95) [4점]

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588

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해설

[출제의도] 표본비율로부터 모비율을 추정할 수 있는가를 묻는 문제이다. 표본비율은 p^=1001000=0.1\displaystyle \hat{p} = \frac{100}{1000} = 0.1이고, 표본비율 p^\hat{p}는 근사적으로 정규분포 N(p,0.1×0.91000)\displaystyle \mathrm{N} \mathit{\left( p , \frac{0.1 \times 0.9}{1000} \right)}을 따른다. 따라서, 표본의 크기가 nn일 때, 모비율 pp에 대한 신뢰도 9595%의 신뢰구간은 [p^−1.96p^q^n,p^+1.96p^q^n]\displaystyle \left[ \hat{p} - 1.96 \sqrt{\frac{\hat{p} \hat{q}}{n}} , \hat{p} + 1.96 \sqrt{\frac{\hat{p} \hat{q}}{n}} \right]에서 b−a=2×1.96p^q^n\displaystyle b - a = 2 \times 1.96 \sqrt{\frac{\hat{p} \hat{q}}{n}}이다. 따라서 2×1.960.1×0.9n≤0.002\displaystyle 2 \times 1.96 \sqrt{\frac{{0.1 \times 0.9}}{n}} \leq 0.002에서 n≥588\displaystyle \sqrt{n} \geq 588이므로 p=588\displaystyle \sqrt{p} = 588이다.

태그

#모비율 추정#신뢰구간

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