모비율 신뢰구간 보기

ㄱ. $\displaystyle n = 100 , \hat{p} = \frac{1}{5}$일 때, 비율 $p$를 신뢰도 $95 \%$로 추정하면 신뢰구간은 $\displaystyle \frac{1}{5} - 1.96 \sqrt{\frac{1}{100} \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{4}{5}} \leq p$$\displaystyle \leq \frac{1}{5} + 1.96 \sqrt{\frac{1}{100} \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{4}{5}}$ $\therefore 0.1216 \leq p \leq 0.2784$ (참) ㄴ. 표본의 크기가 $n$이고 $\displaystyle \mathrm{P} \left( \hat{p} - k \sqrt{\frac{\hat{p} \hat{q}}{n}} \leq p \leq \hat{p} + k \sqrt{\frac{\hat{p} \hat{q}}{n}} \right)$인 경우에 신뢰도 $( a \times 100 ) \%$에 대한 최대 허용 표본오차는 $\displaystyle k \sqrt{\frac{1}{4 n}}$이므로 신뢰도 $95 \%$일 때, $n = 400$인 경우 최대 허용 표본오차 $l$은 $\displaystyle l = 1.96 \sqrt{\frac{1}{1600}} = 1.96 \times \frac{1}{40}$ $n = 100$인 경우 최대 허용 표본오차 $l'$는 $\displaystyle l' = 1.96 \sqrt{\frac{1}{400}} = 1.96 \times \frac{1}{20}$ 따라서 $l$은 $l'$의 $\displaystyle \frac{1}{2}$이다. (거짓) ㄷ. $n = 50$인 표본을 $100$번 임의추출하여 비율 $p$의 신뢰도 $95 \%$의 신뢰구간 $100$개를 구해보면 이 중 약 $95$개는 비율 $p$를 포함한다. 이는 신뢰구간의 의미를 설명하는 옳은 내용이다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.