확률과 통계통계적 추정수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

모비율 신뢰구간

문제

어느 도시에서 방학 기간에 봉사활동을 한 경험이 있는 고등학생의 비율을 알아보기 위하여 이 도시의 고등학생 중 400400명을 임의추출하여 조사한 결과 2020%의 학생이 방학 기간에 봉사활동을 한 경험이 있는 것으로 나타났다. 이 결과를 이용하여 이 도시 전체 고등학생 중 방학 기간에 봉사활동을 한 경험이 있는 고등학생의 비율 pp에 대한 신뢰도 9595%의 신뢰구간을 구하면 a≤p≤ba {\leq} p {\leq} b이다. b−ab - a의 값은? (단, ZZ가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, P(∣Z∣≤1.96)=0.95\mathrm{P} \mathit{\left( \left| Z \right| \leq 1.96 \right)} = 0.95로 계산한다.) [4점] ①0.01960.0196②0.03920.0392③0.05880.0588④0.07840.0784⑤0.09800.0980

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④

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해설

[출제의도] 모비율의 신뢰구간을 이용하여 실생활 문제를 해결한다. 표본비율은 p^=0.2{\hat{p}} = 0.2이고 표본의 크기가 충분히 크므로 모비율 pp의 신뢰구간은 0.2−1.960.2×0.8400≤p≤0.2+1.960.2×0.8400\displaystyle 0.2 - 1.96 \sqrt{\frac{0.2 \times 0.8}{400}} \leq p \leq 0.2 + 1.96 \sqrt{\frac{0.2 \times 0.8}{400}} 따라서 b−ab - a=2×1.96×0.2×0.8400\displaystyle = 2 \times 1.96 \times \sqrt{\frac{0.2 \times 0.8}{400}}=0.0784= 0.0784

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#모비율#신뢰구간

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