확률과 통계통계적 추정수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

모비율 신뢰구간

문제

KK고등학교에서 나눔포털을 활용하여 봉사활동을 하는 학생의 비율을 알아보기 위하여 이 고등학교의 학생 중 nn명을 임의추출하여 조사하였다. 이 결과를 이용하여 구한 KK고등학교 전체 학생 중에서 나눔포털을 활용하여 봉사활동을 하는 학생의 비율에 대한 신뢰도 99%의 신뢰구간이 [a,b]\left[ a , b \right]이다. a+b=0.4,b−a=0.2064a + b = 0.4 , b - a = 0.2064일 때, nn의 값은? (단. ZZ가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, P(∣Z∣≤2.58)=0.99P ( \left| Z \right| \leq 2.58 ) = 0.99로 계산한다.) [4점] ①100②121③144④169⑤196

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①

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해설

[출제의도] 모비율의 추정을 이해하여 관련 문항을 해결할 수 있다． 모비율에 대한 신뢰도 99%99 \%의 신뢰구간은 [p^−2.58p^(1−p^)n,p^+2.58p^(1−p^)n]\displaystyle \left[ {\hat{p}} - 2.58 \sqrt{\frac{{{\hat{p}} \left( 1 - {\hat{p}} \right)} ^{\mathit{^{}}}}{n}} , {\hat{p}} + 2.58 \sqrt{\frac{{{\hat{p}} \left( 1 - {\hat{p}} \right)} ^{\mathit{^{}}}}{n}} \right] a+b=0.4a + b = 0.4이므로 2p^=0.42 {\hat{p}} = 0.4,, p^=0.2\hat{p} = 0.2 b−a=2×2.580.2×0.8n\displaystyle b - a = 2 \times 2.58 \sqrt{\frac{0.2 \times 0.8}{n}} =2×2.58×0.4n=2.064n=0.2064\displaystyle = \frac{2 \times 2.58 \times 0.4}{\sqrt{n}} = \frac{2.064}{\sqrt{n}} = 0.2064 따라서 n=100n = 100

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#모비율#신뢰구간

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