확률과 통계통계적 추정수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

모비율 신뢰구간

문제

어느 고등학교에서 대중교통을 이용하여 등교하는 학생의 비율을 알아보기 위하여 이 고등학교 학생 중 nn명을 임의추출하여 조사한 결과 50%50 \%의 학생이 대중교통을 이용하여 등교하는 것으로 나타났다. 이 결과를 이용하여 구한 이 고등학교 전체 학생 중에서 대중교통을 이용하여 등교하는 학생의 비율 pp에 대한 신뢰도 95%95 \%의 신뢰구간이 a≤p≤ba \leq p \leq b이다. b−a=0.14b - a = 0.14일 때, nn의 값을 구하시오. (단, ZZ가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, P(∣Z∣≤1.96)=0.95\mathrm{P} ( | \mathit{Z} | \leq 1.96 ) = 0.95로 계산한다.) [4점]

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196

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해설

nn명의 학생중 50%50 \%가 대중교통을 이용하므로 p^=12\displaystyle \hat{p} = \frac{1}{2} 이를 이용해 신뢰도 95%95 \%의 신뢰구간을 구해 보면 12−1.9612⋅12n≤p≤12+1.9612⋅12n\displaystyle \frac{1}{2} - 1.96 \sqrt{\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}}{n}} \leq p \leq \frac{1}{2} + 1.96 \sqrt{\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}}{n}} ⇒ 12−1.9614n≤p≤12+1.9614n\displaystyle \frac{1}{2} - 1.96 \sqrt{\frac{1}{4 n}} \leq p \leq \frac{1}{2} + 1.96 \sqrt{\frac{1}{4 n}} 따라서 b−a=2×1.96×14n\displaystyle b - a = 2 \times 1.96 \times \sqrt{\frac{1}{4 n}}=1.961n=0.14\displaystyle = 1.96 \sqrt{\frac{1}{n}} = 0.14 ∴n=14\displaystyle \therefore \sqrt{n} = 14 ∴n=196\therefore n = 196

태그

#모비율의 추정#신뢰구간

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