확률과 통계통계적 추정수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

모비율 신뢰구간

문제

어느 고등학교에서 오전 $8$ 시 이전에 등교하는 학생의 비율 $p$ 를 알아보기 위하여, 어느 날 이 학교 학생 중에서 $300$ 명을 임의추출하여 오전 $8$ 시 이전에 등교한 학생의 표본비율 $\hat{p}$ 을 구하였다. 표본비율 $\hat{p}$ 을 이용하여 구한 비율 $p$ 에 대한 신뢰도 $95 \%$ 의 신뢰구간이 $[ 0.701 , 0.799 ]$ 일 때, 임의추출된 $300$ 명의 학생 중에서 오전 $8$ 시 이전에 등교한 학생의 수를 구하시오. (단, $Z$ 가 표준정규분포를 따를 때, $\mathrm{P} ( \mathit{|} Z | \leq 1.96 ) = 0.95$ 이다.) [4점]

이산수학

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225

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해설

모비율 $p$ 에 대한 신뢰구간 $\displaystyle \left[ \hat{p} - 1.96 \sqrt{\frac{\hat{p} ( 1 - \hat{p} )}{300}} , \hat{p} + 1.96 \sqrt{\frac{\hat{p} ( 1 - \hat{p} )}{300}} \right]$ 이 때, 주어진 신뢰구간이 $\left[ 0.701 , 0.799 \right]$ 이므로 신뢰구간의 양끝 값을 더하면 $2 \hat{p} = 0.701 + 0.799$ $\therefore \hat{p} = 0.75$ $300$ 명의 학생 중에서 오전 $8$ 시 이전에 등교한 학생수를 $X$ 라 하면 $\displaystyle \hat{p} = \frac{X}{300}$ 이므로 $\displaystyle \frac{X}{300} = 0.75$ $\therefore X = 225$

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