확률과 통계통계적 추정수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

모비율 정규근사

문제

어느 지역 학생 중에서 일주일 동안 $7$ 시간 이상 독서를 한 학생의 비율이 $36 \%$ 라고 한다. 이 지역에서 학생 $100$ 명을 임의추출할 때, 일주일 동안 $7$ 시간 이상 독서를 한 학생이 $42$ 명 이하일 확률을 아래 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? [4점]

$z$	$P ( 0 \leq Z \leq z )$
$1.25$	$0.3944$
$1.50$	$0.4332$
$1.75$	$0.4599$
$2.00$	$0.4772$

① $0.6056$ ② $0.8276$ ③ $0.8944$ ④ $0.9332$ ⑤ $0.9599$

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③

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해설

$n$ 이 충분히 클 때, 표본비율 $\displaystyle \hat{p} \sim N \left( p , \frac{p ( 1 - p )}{n} \right)$ 이므로 모비율 $p = 0.36$ , 표본의 크기 $n = 100$ 에서 $\displaystyle \hat{p} \sim N \left( 0.36 , \frac{0.36 \times 0.64}{100} \right)$ , $\hat{p} \sim N \left( 0.36 , 0.048 ^{2} \right)$ $\displaystyle \begin{aligned} P ( \hat{p} \leq 0.42 ) & = P \left( Z \leq \frac{0.42 - 0.36}{0.048} \right) = P ( Z \leq 1.25 ) \\ & = 0.5 + 0.3944 = 0.8944 \end{aligned}$

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