마름모와 넓이 같은 삼각형

[출제의도] 사각형의 성질과 삼각형의 합동조건을 이용하여 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

그림에서 사각형 $\mathrm{ACDE}$는 마름모이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{AE}}$󰁚$\displaystyle \mathrm{\overline{BC}}$ 사각형 $\mathrm{AMCN}$은 직사각형이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{AM}} = \overline{CN}$ ㄱ. $\displaystyle \mathrm{\triangle} ABC = \frac{1}{2} \times \overline{BC} \times \overline{AM}$ $\displaystyle \mathrm{\triangle} ABE = \frac{1}{2} \times \overline{AE} \times \overline{AM}$ $\displaystyle \mathrm{=} \frac{1}{2} \times \overline{AC} \times \overline{AM}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{AC}} \mathrm{\ne} \overline{BC}$이므로, $\mathrm{\triangle} ABC \ne \triangle ABE$ ㄴ. $\displaystyle \mathrm{\triangle} ACE = \frac{1}{2} \times \overline{AE} \times \overline{CN}$ $\displaystyle = \frac{\mathrm{1}}{2} \times \overline{AE} \times \overline{AM}$ $\mathrm{=} \triangle ABE$ ㄷ. 삼각형 $\mathrm{ABE}$와 삼각형 $\mathrm{AFC}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = \overline{AF}$(가정) … ㉠ $\displaystyle \mathrm{\overline{AE}} = \overline{AC}$(가정) … ㉡ $\angle \mathrm{BAE} = \angle BAC + \angle CAE$ $\mathrm{=} \angle BAC + \angle FAB$ $\mathrm{=} \angle FAC$ … ㉢ ㉠, ㉡, ㉢ 에 의하여 $\mathrm{\triangle} ABE \equiv \triangle AFC$($\mathrm{SAS}$합동) ∴ $\mathrm{\triangle} AFC = \triangle ABE$ 따라서 삼각형 $\mathrm{ABE}$와 넓이가 같은 것은 ㄴ, ㄷ이다.