마라톤 표본평균 확률

완주시간을 확률변수 $X$라 하면 $X$는 정규분포 $N ( 5 , 1 ^{2} )$을 따른다. 이 때, 참가자 중 임의추출한 100명의 평균완주시간을 $\displaystyle \overline{X}$라 하면 표본평균 $\displaystyle \overline{X}$는 정규분포 $\displaystyle N ( 5 , \frac{1}{100} )$ 즉, $\displaystyle N ( 5 , ( \frac{1}{10} ) ^{2} )$ 을 따른다. 따라서 구하는 확률은 $\displaystyle P \left( 4 + \frac{51}{60} \leq \overline{X} \leq 5 + \frac{12}{60} \right)$$\displaystyle = P \left( \frac{97}{20} \leq \overline{X} \leq \frac{26}{5} \right)$ $\displaystyle = P \left( \frac{\frac{97}{20} - 5}{\frac{1}{10}} \leq Z \leq \frac{\frac{26}{5} - 5}{\frac{1}{10}} \right)$ $= P ( - 1.5 \leq Z \leq 2 )$ $= P ( 0 \leq Z \leq 1.5 ) + P ( 0 \leq Z \leq 2 )$ $= 0.4332 + 0.4772$ $= 0.9104$