카드로 점 이동

시행을 $\mathrm{4}$번 반복한 후 점 $\mathrm{P}$의 좌표가 $\mathrm{0}$ 이상인 사건을 $A$, 확인한 $\mathrm{4}$개의 수의 곱이 홀수인 사건을 $B$라 하자. (ⅰ) 확인한 $\mathrm{4}$개의 수의 곱이 홀수인 경우확인한 $\mathrm{4}$개의 수가 모두 홀수이고, 이때 점 $\mathrm{P}$의 좌표는 항상 $\mathrm{0}$ 이상이므로 $\displaystyle \mathrm{P} \mathit{\left( A \cap B \right)} = \mathit{_{4}} \mathrm{C} \mathit{_{4}} \times \left( \frac{1}{2} \right) ^{4} = \frac{1}{16}$ (ⅱ) 확인한 $\mathrm{4}$개의 수의 곱이 짝수인 경우확인한 $\mathrm{4}$개의 수 중 짝수의 개수가 $\mathrm{3}$ 또는 $\mathrm{4}$인 경우에는 점 $\mathrm{P}$의 좌표가 $\mathrm{0}$ 미만이다. ① 확인한 짝수의 개수가 $\mathrm{2}$인 경우확인한 $\mathrm{4}$개의 수가 $2$, $2$, $1$, $3$ 또는 $2$, $2$, $3$, $3$ 또는 $2$, $4$, $3$, $3$일 때 점 $\mathrm{P}$의 좌표가 $\mathrm{0}$ 이상이므로 확인한 $\mathrm{4}$개의 수가$2$, $2$, $1$, $3$일 확률은 $\displaystyle \frac{4 !}{2 !} \times \left( \frac{1}{4} \right) ^{4}$$2$, $2$, $3$, $3$일 확률은 $\displaystyle \frac{4 !}{2 ! \times 2 !} \times \left( \frac{1}{4} \right) ^{4}$$2$, $4$, $3$, $3$일 확률은 $\displaystyle \frac{4 !}{2 !} \times \left( \frac{1}{4} \right) ^{4}$따라서 구하는 확률은$\displaystyle \frac{4 !}{2 !} \times \left( \frac{1}{4} \right) ^{4} + \frac{4 !}{2 ! \times 2 !} \times \left( \frac{1}{4} \right) ^{4} + \frac{4 !}{2 !} \times \left( \frac{1}{4} \right) ^{4}$$\displaystyle = \left( 12 + 6 + 12 \right) \times \left( \frac{1}{4} \right) ^{4} = \frac{15}{128}$ ② 확인한 짝수의 개수가 $\mathrm{1}$인 경우확인한 $\mathrm{4}$개의 수가 짝수 $\mathrm{1}$개와 홀수 $\mathrm{3}$개인 경우에서 $4$, $1$, $1$, $1$인 경우만 제외하면 점 $\mathrm{P}$의 좌표가 $\mathrm{0}$ 이상이므로 구하는 확률은$\displaystyle \mathit{_{4}} \mathrm{C} \mathit{_{1}} \times \left( \frac{1}{2} \right) ^{4} - \mathit{_{4}} \mathrm{C} \mathit{_{1}} \times \left( \frac{1}{4} \right) ^{4} = \frac{15}{64}$ ①, ②에서 $\displaystyle \mathrm{P} \mathit{\left( A \cap B ^{C} \right)} = \frac{15}{128} + \frac{15}{64} = \frac{45}{128}$ (ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 확률은 $\mathrm{P} \mathit{\left( B \left| \right. A \right)}$$\displaystyle = \frac{\mathrm{P} \mathit{\left( A \cap B \right)}}{\mathrm{P} \mathit{\left( A \right)}} = \frac{\mathrm{P} \mathit{\left( A \cap B \right)}}{\mathrm{P} \mathit{\left( A \cap B \right)} + \mathrm{P} \mathit{\left( A \cap B ^{C} \right)}}$$\displaystyle = \frac{\frac{1}{16}}{\frac{1}{16} + \frac{45}{128}} = \frac{8}{53}$ 따라서 $p = 53$, $q = 8$이므로 $p + q = 61$