확률과 통계통계적 추정수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

카드 표본평균 확률

문제

$\mathrm{1}$ 부터 $\mathrm{6}$ 까지의 자연수가 하나씩 적힌 $\mathrm{6}$ 장의 카드가 들어 있는 주머니가 있다. 이 주머니에서 임의로 한 장의 카드를 꺼내어 카드에 적힌 수를 확인한 후 다시 넣는 시행을 한다. 이 시행을 $\mathrm{4}$ 번 반복하여 확인한 네 개의 수의 평균을 $\displaystyle \overline{X}$ 라 할 때, $\displaystyle {\mathrm{P}} \mathit{\left( \overline{X} = \frac{11}{4} \right)} = \frac{q}{p}$ 이다. $p + q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) [4점]

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175

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해설

$( 1 , 1 , 3 , 6 ) , ( 1 , 1 , 4 , 5 )$ , $( 1 , 2 , 2 , 6 )$ , $( 1 , 2 , 3 , 5 )$ , $( 1 , 2 , 4 , 4 )$ , $( 1 , 3 , 3 , 4 )$ , $( 2 , 2 , 2 , 5 )$ , $( 2 , 2 , 3 , 4 )$ , $( 2 , 3 , 3 , 3 )$ 합이 $11$ 이 되는 $9$ 가지 중에서 $( 1 , 2 , 3 , 5 )$ 는 $4 ! = 24$ $( 2 , 2 , 2 , 5 ) , ( 2 , 3 , 3 , 3 )$ 은 세 수가 같으므로 $\displaystyle \frac{4 !}{3 !} = 4$ 나머지는 같은 수가 두 개 이므로 $\displaystyle \frac{4 !}{2 !} = 12$ $\displaystyle \frac{1 \times 24 + 2 \times 4 + 6 \times 12}{6 ^{4}} = \frac{13}{162}$ $\therefore p + q = 162 + 13 = 175$

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