확률과 통계순열과 조합수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

카드 나열과 차의 합

문제

숫자 $1$ , $1$ , $2$ , $2$ , $4$ , $4$ , $4$ 가 하나씩 적혀 있는 $\mathrm{7}$ 장의 카드가 있다. 이 $\mathrm{7}$ 장의 카드를 모두 한 번씩 사용하여 일렬로 나열할 때, 서로 이웃한 $\mathrm{2}$ 장의 카드에 적혀 있는 두 수의 차를 각각 $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , $e$ , $f$ 라 하자. 예를 들어 그림과 같이 나열한 경우 $a = 3$ , $b = 1$ , $c = 1$ , $d = 3$ , $e = 0$ , $f = 2$ 이다.

$a + b + c + d + e + f$ 의 값이 짝수가 되도록 카드를 나열하는 경우의 수는? (단, 같은 숫자가 적혀 있는 카드끼리는 서로 구별하지 않는다.) [4점] ① $\mathrm{100}$ ② $\mathrm{110}$ ③ $\mathrm{120}$ ④ $\mathrm{130}$ ⑤ $\mathrm{140}$

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②

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해설

주어진 숫자 $1$ , $1$ , $2$ , $2$ , $4$ , $4$ , $4$ 중 홀수가 $1$ 이므로 $1$ 의 배치를 기준으로 경우를 나누어 생각하면 다음과 같다.

(ⅰ) $\mathrm{A}$ , $\mathrm{C}$ 의 자리에 $2$ 또는 $4$ 의 카드가 놓이는 경우 $\mathrm{A}$ , $\mathrm{C}$ 의 자리에 $2$ 또는 $4$ 의 카드가 적어도 한 개 이상 배치되어야 조건을 만족시키므로 $\mathrm{A}$ , $\mathrm{B}$ , $\mathrm{C}$ 의 자리에 놓이는 카드의 개수를 각각 $x$ , $y$ , $z$ 라 할 때, 방정식 $x + y + z = 5$ 를 만족시키는 $x \geq 1$ , $y \geq 1$ , $z \geq 0$ 인 정수해의 순서쌍 $\left( x , y , z \right)$ 의 개수와 같다. ${}_{3} \mathrm{H} _{3} \times 10 = _{5} \mathrm{C} _{2} \times 10 = 100$ (ⅱ) $\mathrm{A}$ , $\mathrm{C}$ 의 자리에 $2$ 또는 $4$ 의 카드가 놓이지 않는 경우 숫자 $2$ 가 적힌 카드 $2$ 장과 숫자 $4$ 가 적힌 카드 $3$ 장을 모두 $\mathrm{B}$ 의 자리에 배치하면 조건을 만족시키므로 그 경우의 수는 $\displaystyle \frac{5 !}{2 ! \times 3 !}$ $= 10$ 이상에서 모든 경우의 수는 $100 + 10 = 110$

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