확률과 통계확률의 뜻과 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

카드 확률의 극한 빈칸

문제

1,2,3,⋯ ,3n1 , 2 , 3 , \cdots , 3 n(nn은 자연수)의 숫자가 하나씩 적혀 있는 3n3 n장의 카드 중 임의로 꺼낸 22장의 카드에 적혀 있는 두 수를 각각 a,b(a<b)a , b ( a < b )라 하자. 3a<b3 a < b일 확률을 Pn\mathrm{P} _{\mathit{n}}이라 할 때, 다음은 lim⁡n→∞Pn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \mathrm{P} _{\mathit{n}}의 값을 구하는 과정이다.

3n3 n장의 카드 중 22장의 카드를 꺼내는 경우의 수는 3nC2{}_{3n} \mathrm{C} _{2}이다. 3a<b3 a < b인 경우에는 b≤3nb \leq 3 n이므로 1≤a<n1 \leq a < n이다. 따라서 a=ka = k라 하면 3a<b3 a < b를 만족시키는 bb의 경우의 수는 □(가)\square {\text{(가)}}이므로 Pn=□(나)3nC2\displaystyle \mathrm{P} _{\mathit{n}} = \frac{\square {\text{(나)}}}{{} _{\mathit{3} n} \mathrm{C} _{2}}이다. 그러므로 lim⁡n→∞Pn=□(다)\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \mathrm{P} _{\mathit{n}} = \square {\text{(다)}}이다.

위의 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [4점] (가) (나) (다) ①3(n−k)3 ( n - k ) 32n(n−1)\displaystyle \frac{3}{2} n ( n - 1 ) 13\displaystyle \frac{1}{3}②3(n−k)3 ( n - k ) 32n(n−1)\displaystyle \frac{3}{2} n ( n - 1 ) 23\displaystyle \frac{2}{3}③3(n−k)3 ( n - k ) 3n(n−1)3 n ( n - 1 ) 23\displaystyle \frac{2}{3}④3(n−k+1)3 ( n - k + 1 ) 3n(n−1)3 n ( n - 1 ) 13\displaystyle \frac{1}{3}⑤3(n−k+1)3 ( n - k + 1 ) 3n(n−1)3 n ( n - 1 ) 23\displaystyle \frac{2}{3}

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①

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해설

a=ka = k일 때, b=3k+1b = 3 k + 1, 3k+23 k + 2, ⋯\cdots,3n, 3 n이므로 bb의 경우의 수는 3n−3k=3(n−k)⋯⋯(가)3 n - 3 k = 3 ( n - k ) \cdots \cdots \text{(가)} 구하는 경우의 수는 ∑k=1n−13(n−k)\displaystyle \sum\limits _{{k} = 1} ^{n-1} 3 ( n - k )=3n(n−1)−3⋅n(n−1)2\displaystyle = 3 n ( n - 1 ) - 3 \cdot \frac{n ( n - 1 )}{2}=□32n(n−1)⋯⋯(나)\displaystyle = \square {\frac{3}{2} n ( n - 1 )} \cdots \cdots \text{(나)} ∴lim⁡n→∞Pn=lim⁡n→∞32n(n−1)3n(3n−1)2!=13⋯⋯(다)\displaystyle \therefore \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \mathrm{P} _{\mathit{n}} = \mathit{\lim\limits} _{n \rightarrow \infty} {} \frac{\frac{3}{2} n ( n - 1 )}{\frac{3 n ( 3 n - 1 )}{2 !}} = \frac{1}{3} \cdots \cdots \text{(다)}

태그

#수학적 확률#수열의 극한

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