카드 뒤집기 조건부확률

[출제의도] 조건부확률을 이용하여 조건을 만족시키는 확률을 구할 수 있는가? 주어진 시행을 $3$번 반복한 후 $6$장의 카드에 보이는 모든 수의 합이 짝수인 사건을 $A$, 주사위의 $1$의 눈이 한 번만 나오는 사건을 $B$라 하면 구하는 확률은 $\mathrm{P} \mathit{\left( B | A \right)}$이다. (ⅰ) 사건 $A$가 일어날 확률 주어진 시행을 $3$번 반복한 후 $6$장의 카드에 보이는 모든 수의 합이 짝수인 경우는 홀수가 보이는 카드의 개수가 $0$ 또는 $2$이어야 하므로 주사위를 $3$번 던질 때 홀수의 눈이 나오는 횟수가 $3$ 또는 $1$이어야 한다. 이때 독립시행의 확률에 의하여 홀수의 눈이 $3$번 나올 확률은 $\displaystyle {} _{3} \mathrm{C} _{3} \left( \frac{1}{2} \right) ^{3}$$\displaystyle = 1 \times \frac{1}{8}$$\displaystyle = \frac{1}{8}$ $\cdots \cdots$ ㉠ 홀수의 눈이 $1$번 나올 확률은 $\displaystyle {} _{3} \mathrm{C} _{1} \left( \frac{1}{2} \right) ^{1} \left( \frac{1}{2} \right) ^{2}$$\displaystyle = 3 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{4}$$\displaystyle = \frac{3}{8}$ $\cdots \cdots$ ㉡ ㉠, ㉡의 두 사건은 서로 배반사건이므로 확률의 덧셈정리에 의하여 $\mathrm{P} \left( \mathit{A} \right)$$\displaystyle = \frac{1}{8} + \frac{3}{8}$$\displaystyle = \frac{1}{2}$ (ⅱ) 사건 $A \cap B$가 일어날 확률 ㉠에서 $1$의 눈이 한 번만 나오는 경우는 $3$번의 시행 중 $1$의 눈이 한 번 나오고 나머지 두 번은 $3$ 또는 $5$의 눈이 나오는 경우이므로 이 확률은 $\displaystyle {} _{3} \mathrm{C} _{1} \left( \frac{1}{6} \right) ^{1} \times _{2} \mathrm{C} _{2} \left( \frac{2}{6} \right) ^{2}$$\displaystyle = 3 \times \frac{1}{6} \times 1 \times \frac{1}{9}$$\displaystyle = \frac{1}{18}$ ㉡에서 $1$의 눈이 한 번만 나오는 경우는 $3$번의 시행 중 $1$의 눈이 한 번 나오고 나머지 두 번은 짝수의 눈이 나오는 경우이므로 이 확률은 $\displaystyle {} _{3} \mathrm{C} _{1} \left( \frac{1}{6} \right) ^{1} \times _{2} \mathrm{C} _{2} \left( \frac{1}{2} \right) ^{2}$$\displaystyle = 3 \times \frac{1}{6} \times 1 \times \frac{1}{4}$$\displaystyle = \frac{1}{8}$ 따라서 $\displaystyle \mathrm{P} \left( \mathit{A} \cap B \right) = \frac{1}{18} + \frac{1}{8} = \frac{13}{72}$ (ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 조건부확률은 $\mathrm{P} \mathit{\left( B | A \right)}$$\displaystyle = \frac{\mathrm{P} \left( \mathit{A} \cap B \right)}{\mathrm{P} \left( \mathit{A} \right)}$$\displaystyle = \frac{\frac{13}{72}}{\frac{1}{2}} = \frac{13}{36}$ 이므로 $p + q$$= 36 + 13$$= 49$