확률과 통계조건부확률수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

카드 뒤집기 확률

문제

앞면에는 문자 ${\mathrm{A}}$ , 뒷면에는 문자 ${\mathrm{B}}$ 가 적힌 한 장의 카드가 있다. 이 카드와 한 개의 동전을 사용하여 다음 시행을 한다.

동전을 두 번 던져 앞면이 나온 횟수가 $\mathrm{2}$ 이면 카드를 한 번 뒤집고, 앞면이 나온 횟수가 $\mathrm{0}$ 또는 $\mathrm{1}$ 이면 카드를 그대로 둔다.

처음에 문자 ${\mathrm{A}}$ 가 보이도록 카드가 놓여 있을 때, 이 시행을 $\mathrm{5}$ 번 반복한 후 문자 ${\mathrm{B}}$ 가 보이도록 카드가 놓일 확률은 $p$ 이다. $128 \times p$ 의 값을 구하시오. [4점]

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해설

이 시행을 $5$ 번 반복할 때 카드를 뒤집는 경우가 홀수 번 나오는 사건이 구하고자 하는 확률의 사건이다. $1$ 회 시행 후 카드를 뒤집을 확률은 $\displaystyle \frac{1}{4}$ 이므로 $5$ 회 시행에서 카드를 $n$ 번 뒤집는 확률을 $p _{n}$ 이라 하면 $\displaystyle p _{n} = \mathit{_{5}} \mathrm{C} \mathit{_{n}} \left( \frac{1}{4} \right) ^{n} \left( \frac{3}{4} \right) ^{5-n}$ ( $n = 0 , 1 , 2 , \cdots , 5$ ) $\therefore$ $p$ $= p _{1} + p _{3} + p _{5}$ $\displaystyle = \frac{\mathit{_{5}} \mathrm{C} \mathit{_{1}} \times 3 ^{4} + \mathit{_{5}} \mathrm{C} \mathit{_{3}} \times 3 ^{2} + \mathit{_{5}} \mathrm{C} \mathit{_{5}}}{4 ^{5}}$ $\displaystyle = \frac{31}{64}$ $\therefore$ $128 \times p = 62$

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