카드 배열의 수

[출제의도] 중복조합의 수를 이용하여 조건을 만족시키는 경우의 수를 구할 수 있는가 검은색 카드의 왼쪽에 있는 흰색 카드의 장수를 $a$, 두 검은색 카드의 사이에 있는 흰색 카드의 장수를 $b$, 검은색 카드의 오른쪽에 있는 흰색 카드의 장수를 $c$라 하면 $a + b + c = 8$ 조건 (나)와 조건 (다)에서 $b {\geq} 2$이고, 검은색 카드 사이의 흰색 카드에 적힌 수가 모두 $3$의 배수가 아닌 경우를 제외해야 한다. 음이 아닌 정수 $b'$에 대하여 $b = b' + 2$으로 놓으면 $a + \left( b' + 2 \right) + c = 8$ $a + b' + c = 6$ 방정식 $a + b' + c = 6$을 만족시키는 음이 아닌 정수 $a$, $b'$, $c$의 모든 순서쌍 $\left( a , b' , c \right)$의 개수는 서로 다른 $3$개에서 중복을 허락하여 $6$개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 ${} _{3} {\mathrm{H}} _{6} = _{8} {\mathrm{C}} _{6} = _{8} {\mathrm{C}} _{2} = 28$ 이때 검은색 카드 사이의 흰색 카드에 적힌 수가 $1$, $2$인 경우, $4$, $5$인 경우, $7$, $8$인 경우를 제외해야 한다. 따라서 구하는 경우의 수는 $28 - 3 = 25$