카드 배열 합 짝수 확률

출제의도 : 배반사건의 성질과 확률 의 곱셈정리를 이용하여 확률을 구할 수 있는가? 9 장의 카드를 모두 한 번씩 사용하여 그 림과 같은 직사각형 모양으로 임의로 배 열할 때, 제 $2$열에 배열하는 $3$장의 카드에 적혀 있 는 $3$개의 수의 합이 짝수이려면 제 $2$열에 배열하는 $3$장의 카드에 적혀 있 는 $3$개의 수가 모두 짝수이거나 제 $2$열에 배열하는 $3$장의 카드에 적혀 있 는 $3$개의 수 중 $1$개의 수는 짝수이고 $2$개의 수는 홀수이어야 한다. $9$장의 카드를 모두 한 번씩 사용하여 임 의로 배열할 때, 제 $2$열에 배열하는 $3$장의 카드에 적혀 있 는 $3$개의 수가 모두 짝수인 사건을 $A$라 하고, 제 $2$열에 배열하는 $3$장의 카드에 적혀 있 는 $3$개의 수 중 $1$개의 수는 짝수이고 $2$개의 수는 홀수인 사건을 $B$라 하면 구하는 확률은 ${\mathrm{P}} ( A \mathit{\cup} B \mathit{)}$이다. 이때, $\mathrm{P} \mathit{(} A \mathit{)}$$\displaystyle = \frac{{} _{4} \mathrm{C} \mathit{_{1}}}{{} _{9} \mathrm{C} \mathit{_{1}}} \times \frac{{} _{3} \mathrm{C} \mathit{_{1}}}{{} _{8} \mathrm{C} \mathit{_{1}}} \times \frac{{} _{2} \mathrm{C} \mathit{_{1}}}{{} _{7} \mathrm{C} \mathit{_{1}}}$$\displaystyle = \frac{4}{9} \times \frac{3}{8} \times \frac{2}{7}$$\displaystyle = \frac{1}{21}$ ${\mathrm{P}} ( B \mathit{)}$$\displaystyle = {} _{3} \mathrm{C} _{1} \times \frac{{} _{4} \mathrm{C} _{1}}{{} _{9} \mathrm{C} _{1}} \times \frac{{} _{5} \mathrm{C} _{1}}{{} _{8} \mathrm{C} _{1}} \times \frac{{} _{4} \mathrm{C} _{1}}{{} _{7} \mathrm{C} _{1}}$$\displaystyle = 3 \times \frac{4}{9} \times \frac{5}{8} \times \frac{4}{7}$$\displaystyle = \frac{10}{21}$ 두 사건 $A$, $B$가 서로 배반사건이므로 $\mathrm{P} \mathit{(} A \mathit{\cup} B \mathit{)} = \mathrm{P} \mathit{(} A \mathit{)} + \mathrm{P} \mathit{(} B \mathit{)}$$\displaystyle = \frac{1}{21} + \frac{10}{21}$$\displaystyle = \frac{11}{21}$ [다른 풀이] $1$ 부터 $9$ 까지의 자연수가 하나씩 적혀 있 는 $9$ 장의 카드를 모두 주어진 직사각형 모양으로 배열하는 경우의 수는 $9 !$ 제$2$열에 배열하는 $3$장의 카드에 적혀 있 는 $3$개의 수가 모두 짝수가 되도록 $9$장 의 카드를 모두 주어진 직사각형 모양으 로 배열하는 경우는 짝수가 적혀 있는 $4$장의 카드 중에서 서로 다른 $3$장의 카드를 택해 제$2$열에 배 열하고, 나머지 $6$장의 카드를 배열하면 되므로 이때의 경우의 수는 ${} _{4} \mathrm{P} _{3} \times 6$! 이고, $\displaystyle \begin{aligned} {\mathrm{P}} ( A \mathit{)} & = \frac{{} _{4} {\mathrm{P}} _{3} \times 6 !}{9 !} \end{aligned}$$\displaystyle = \frac{1}{21}$ 이다. 제 $2$ 열에 배열하는 $3$장의 카드에 적혀 있 는 $3$개의 수 중 $1$개의 수는 짝수이고 $2$개의 수는 홀수가 되도록 $9$장의 카드를 모두 주어진 직사각형 모양으로 배열하 는 경우는 제 $2$열에 있는 세 곳의 직사각형 중 한 곳을 택해 짝수가 적혀 있는 카드 $1$장을 놓고, 나머지 두 곳에 홀수가 적힌 $2$장의 카드를 배열한 후 나머지 $6$장의 카드 를 배열하면 되므로 이때의 경우의 수는 ${} _{3} \mathrm{C} _{1} \times {} _{4} \mathrm{C} _{1} \times {} _{5} \mathrm{P} _{2} \times 6 !$ 이고, $\displaystyle \begin{aligned} \mathrm{P} ( B ) & = \frac{{} _{3} \mathrm{C} _{1} \times {} _{4} \mathrm{C} _{1} \times {} _{5} \mathrm{P} _{2} \times 6 !}{9 !} \end{aligned}$$\displaystyle = \frac{10}{21}$ 이다. 따라서 두 사건 $A$, $B$가 서로 배반사건이므로 $\mathrm{P} \mathit{(} A \mathit{\cup} B \mathit{)} = \mathrm{P} \mathit{(} A \mathit{)} + \mathrm{P} \mathit{(} B \mathit{)}$$\displaystyle = \frac{1}{21} + \frac{10}{21}$$\displaystyle = \frac{11}{21}$