카드 배치 확률

[출제의도] 확률의 뜻을 이해하여 주어진 사건의 확률을 구한다. 네 책상 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$, $\mathrm{D}$에 카드를 놓는 경우의 수를 다음과 같이 그림을 이용하여 구할 수 있다.

위 그림을 통하여 알 수 있듯이 네 개의 책상에 카드를 하나씩 올려놓는 경우의 수는 $24$이다. 한편 책상 $\mathrm{C}$에 놓인 카드에 적힌 수가 책상 $\mathrm{A}$에 놓인 카드에 적힌 수보다 크고, 책상 $\mathrm{D}$에 놓인 카드에 적힌 수가 책상 $\mathrm{B}$에 놓인 카드에 적힌 수보다 큰 경우는 다음 $6$가지이다.

따라서 구하는 확률은 $\displaystyle \frac{6}{24} = \frac{1}{4}$이다. [다른 풀이] 책상에 카드를 놓는 경우의 수는 $4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ 이다. 책상 $\mathrm{C}$에 놓인 카드에 적힌 수가 책상 $\mathrm{A}$에 놓인 카드에 적힌 수보다 크고, 책상 $\mathrm{D}$에 놓인 카드에 적힌 수가 책상 $\mathrm{B}$에 놓인 카드에 적힌 수보다 큰 경우는 다음과 같다. ⅰ) 책상 $\mathrm{A}$에 $1$이 적힌 카드가 놓인 경우 책상 $\mathrm{C}$에 놓을 수 있는 카드는 $2$, $3$, $4$가 적힌 카드가 모두 가능하므로 경우의 수는 $3$이다. 책상 $\mathrm{C}$에 놓을 카드를 정하고 남은 카드 두 장을 책상 $\mathrm{B}$와 $\mathrm{D}$에 놓는 방법은 $1$가지이다. 그러므로 책상 $\mathrm{A}$에 $1$이 적힌 카드를 놓는 경우의 수는 $3$이다. ⅱ) 책상 $\mathrm{A}$에 $2$가 적힌 카드가 놓인 경우 책상 $\mathrm{C}$에 놓을 수 있는 카드는 $3$, $4$가 적힌 카드가 가능하고, 책상 $\mathrm{C}$에 놓을 카드를 정하고 남은 카드 두 장을 책상 $\mathrm{B}$와 $\mathrm{D}$에 놓는 방법은 $1$가지이므로 경우의 수는 $2$이다. ⅲ) 책상 $\mathrm{A}$에 $3$이 적힌 카드가 놓인 경우 책상 $\mathrm{C}$에 놓을 수 있는 카드는 $4$가 적힌 카드 하나이므로 경우의 수는 $1$이다. 책상 $\mathrm{C}$에 놓을 카드를 정하고 남은 카드 두 장을 책상 $\mathrm{B}$와 $\mathrm{D}$에 놓는 방법은 $1$가지이므로 경우의 수는 $1$이다. ⅰ), ⅱ), ⅲ)에 의하여 책상 $\mathrm{C}$에 놓인 카드에 적힌 수가 책상 $\mathrm{A}$에 놓인 카드에 적힌 수보다 크고, 책상 $\mathrm{D}$에 놓인 카드에 적힌 수가 책상 $\mathrm{B}$에 놓인 카드에 적힌 수보다 큰 경우의 수는 $3 + 2 + 1 = 6$ 이다. 따라서 구하는 확률은 $\displaystyle \frac{6}{24} = \frac{1}{4}$ 이다. [다른 풀이] $1$, $2$, $3$, $4$가 하나씩 적힌 $4$장의 카드를 네 개의 책상에 임의로 놓을 경우 책상 $\mathrm{C}$에 놓인 카드에 적힌 수가 책상 $\mathrm{A}$에 놓인 카드에 적힌 수보다 클 확률은 $\displaystyle \frac{1}{2}$이다. 또한 책상 $\mathrm{D}$에 놓인 카드에 적힌 수가 책상 $\mathrm{B}$에 놓인 카드에 적힌 수보다 클 확률은 $\displaystyle \frac{1}{2}$이므로 구하는 확률은 $\displaystyle \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ 이다.