미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

좌표 선분비 극한

문제

자연수 nn에 대하여 좌표평면 위에 두 점 An(n,0)\mathrm{A} _{\mathit{n}} \left( \mathit{n} , 0 \right), Bn(n,3)\mathrm{B} _{\mathit{n}} \left( \mathit{n} , 3 \right)이 있다. 점 P(1,0)\mathrm{P} \left( 1 , 0 \right)을 지나고 xx축에 수직인 직선이 직선 OBn\mathrm{OB} _{\mathit{n}}과 만나는 점을 Cn\mathrm{C} _{\mathit{n}}이라 할 때, lim⁡n→∞PCn‾OBn‾−OAn‾=qp\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{{\overline{\mathrm{PC} _{\mathit{n}}}}}{{\overline{\mathrm{OB} _{\mathit{n}}}} - {\overline{\mathrm{OA} _{\mathit{n}}}}}} = \frac{q}{p}이다. p+qp + q의 값을 구하시오. (단, O\mathrm{O}는 원점이고, pp와 qq는 서로소인 자연수이다.) [4점]

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해설

[출제의도] 수열의 극한에 대한 문제를 해결한다. An(n,0)\mathrm{A} _{\mathit{n}} ( \mathit{n} , 0 ), Bn(n,3)\mathrm{B} _{\mathit{n}} ( \mathit{n} , 3 )에서 OAn‾=n\displaystyle \mathrm{\overline{OA _{\mathit{n}}}} = \mathit{n}, OBn‾=n2+9\displaystyle \mathrm{\overline{OB _{\mathit{n}}}} = \sqrt{\mathit{n} ^{2} + 9} 직선 OBn\mathrm{OB} _{\mathit{n}}의 방정식은 y=3nx\displaystyle y = \frac{3}{n} x이므로 점 Cn\mathrm{C} _{\mathit{n}}의 좌표는 (1,3n)\displaystyle \left( 1 , \frac{3}{\mathit{n}} \right)이고 PCn‾=3n\displaystyle \mathrm{\overline{PC _{\mathit{n}}}} = \frac{3}{\mathit{n}} lim⁡n→∞PCn‾OBn‾−OAn‾\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{{\overline{\mathrm{PC} _{\mathit{n}}}}}{{\overline{\mathrm{OB} _{\mathit{n}}}} - {\overline{\mathrm{OA} _{\mathit{n}}}}}}=lim⁡n→∞3nn2+9−n\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{\frac{3}{n}}{\sqrt{n ^{2} + 9} - n}} =lim⁡n→∞13(1+9n2+1)\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{1}{3} \left( \sqrt{1 + \frac{9}{n ^{2}}} + 1 \right)}=23\displaystyle = \frac{2}{3} p=3p = 3, q=2q = 2이므로 p+q=5p + q = 5

태그

#수열의 극한#무리식

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