주사위와 상자의 공

$5$번 시행 후 상자 $\mathrm{B}$에 들어 있는 공의 개수가 홀수인 사건을 $X$, 상자 $\mathrm{A}$와 $\mathrm{C}$에 들어 있는 공의 개수의 합이 $8$이상인 사건을 $Y$라 하면 구하는 확률은 $\mathrm{P} \mathit{\left( Y | X \right)}$ $5$번 시행 중 $3$의 배수가 나오는 횟수를 $x$라 하면 $5$번 시행 후 상자 $\mathrm{B}$에 들어 있는 공의 개수는 $2 x + \left( 5 - x \right) = x + 5$ $5$번 시행 후 상자 $\mathrm{B}$에 들어 있는 공의 개수가 홀수이어야 하므로 $x = 0$ 또는 $x = 2$ 또는 $x = 4$ (ⅰ) $x = 0$일 때 상자 $\mathrm{B}$에 들어 있는 공의 개수는 $5$ 상자 $\mathrm{A}$, $\mathrm{C}$에 들어 있는 공의 개수의 합은 $\left( 1 + 1 \right) \times 5 = 10$ $5$번 시행 중 $3$의 배수가 $0$번 나올 확률은 $\displaystyle \mathit{_{5}} \mathrm{C} _{0} \left( \frac{1}{3} \right) ^{0} \left( \frac{2}{3} \right) ^{5} = \frac{32}{243}$ (ⅱ) $x = 2$일 때 상자 $\mathrm{B}$에 들어 있는 공의 개수는 $7$ 상자 $\mathrm{A}$, $\mathrm{C}$에 들어 있는 공의 개수의 합은 $\left( 0 + 1 \right) \times 2 + \left( 1 + 1 \right) \times 3 = 8$ $5$번 시행 중 $3$의 배수가 $2$번 나올 확률은 $\displaystyle \mathit{_{5}} \mathrm{C} _{2} \left( \frac{1}{3} \right) ^{2} \left( \frac{2}{3} \right) ^{3} = \frac{80}{243}$ (ⅲ) $x = 4$일 때 상자 $\mathrm{B}$에 들어 있는 공의 개수는 $9$ 상자 $\mathrm{A}$, $\mathrm{C}$에 들어 있는 공의 개수의 합은 $\left( 0 + 1 \right) \times 4 + \left( 1 + 1 \right) \times 1 = 6$ $5$번 시행 중 $3$의 배수가 $2$번 나올 확률은 $\displaystyle \mathit{_{5}} \mathrm{C} _{2} \left( \frac{1}{3} \right) ^{4} \left( \frac{2}{3} \right) = \frac{10}{243}$ 이상에서 $\displaystyle \mathrm{P} \mathit{\left( X \right)} = \frac{32 + 80 + 10}{243} = \frac{122}{243}$ $\displaystyle \mathrm{P} \mathit{\left( X \cap Y \right)} = \frac{32 + 80}{243} = \frac{112}{243}$ $\therefore$ $\mathrm{P} \mathit{\left( Y | X \right)}$$\displaystyle = \frac{\mathrm{P} \mathit{\left( X \cap Y \right)}}{\mathrm{P} \mathit{\left( X \right)}}$$\displaystyle = \frac{\frac{112}{243}}{\frac{122}{243}}$$\displaystyle = \frac{56}{61}$