주사위와 상자 조건부확률

주사위의 눈이 $1$, $3$, $4$, $5$가 나오는 경우 상자에 넣는 공의 개수는 홀수개이고 $2$, $6$이 나오는 경우 상자에 넣는 공의 개수는 짝수개이므로 주사위의 눈이 $1$, $3$, $4$, $5$가 나오는 사건을 $A$, $2$, $6$의 눈이 나오는 사건을 $B$라 하면 $\displaystyle \mathrm{P} \mathit{\left( A \right)} = \frac{2}{3}$, $\displaystyle \mathrm{P} \left( \mathit{B} \right) = \frac{1}{3}$ $4$번의 시행 후 상자에 들어있는 모든 공의 개수의 합이 홀수가 될 사건을 $E$라 하면 사건 $E$가 일어나는 경우는 사건 $A$가 $3$회, 사건 $B$가 $1$회 또는 사건 $A$가 $1$회, 사건 $B$가 $3$회 이다. $\therefore$ $\mathrm{P} \left( \mathit{E} \right)$$\displaystyle = _{4} \mathrm{C} _{3} \left( \frac{1}{3} \right) ^{3} \left( \frac{2}{3} \right) + _{4} \mathrm{C} _{1} \left( \frac{1}{3} \right) \left( \frac{2}{3} \right) ^{3} = \frac{40}{81}$ $3$이 적힌 상자에 들어 있는 공의 개수가 $2$가 적힌 상자에 들어 있는 공의 개수보다 $1$이 더 많을 사건을 $C$라 할 때, 주사위의 눈이 $6$의 눈이 나오면 상자 $2$, $3$모두에 공을 넣고 짝수의 눈이 나오면 상자 $2$에, 홀수의 눈이 나오면 상자 $3$에 공을 넣을 수 있으므로 $6$의 눈이 나오는 횟수를 기준으로 $\mathrm{P} \left( \mathit{E} \cap C \right)$를 구하면 $6$이 나올 수 있는 경우는 $1$, $3$회이므로 (ⅰ) $6$의 눈이 $3$회 나타나는 경우 상자 $2$와 $3$에 각각 공이 $3$개씩 있으므로 나머지 하나는 반드시 홀수가 나와야 한다. $\displaystyle {}_{4} \mathrm{C} _{3} \left( \frac{1}{6} \right) ^{3} \left( \frac{3}{6} \right) = \frac{12}{6 ^{4}}$ (ⅱ) $6$의 눈이 $1$회 나타나는 경우 상자 $2$와 $3$에 각각 공이 $1$개씩 있고 사건 $E \cap C$를 만족시키는 경우는 $4$의 눈이 한 번 나타나고 홀수가 $2$회 나타나는 경우이므로 $\displaystyle {}_{4} \mathrm{C} _{1} \left( \frac{1}{6} \right) _{3} \mathrm{C} _{1} \left( \frac{1}{6} \right) \left( \frac{1}{2} \right) ^{2} = \frac{108}{6 ^{4}}$ (ⅰ), (ⅱ)에서 $\displaystyle \mathrm{P} \left( \mathit{E} \cap C \right) = \frac{12}{6 ^{4}} + \frac{108}{6 ^{4}} = \frac{120}{6 ^{4}}$ 따라서 구하는 확률은 $\displaystyle \mathrm{P} \left( \mathit{C} | E \right) = \frac{\mathrm{P} \left( \mathit{E} \cap C \right)}{\mathrm{P} \left( \mathit{E} \right)} = \frac{\frac{120}{6 ^{4}}}{\frac{40}{3 ^{4}}} = \frac{3}{16}$