확률과 통계확률의 뜻과 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

주사위와 무한급수

문제

nn개의 주사위를 던져서 나온 눈의 수의 최댓값이 5일 확률을 Pn{\mathrm{P}} _{n}이라 할 때, 무한급수 ∑n=1∞Pn\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{\infty} {\mathrm{P}} _{n}의 합은? ①23\displaystyle \frac{2}{3}②56\displaystyle \frac{5}{6}③1④53\displaystyle \frac{5}{3}⑤3

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⑤

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해설

nn개의 주사위를 던져서 나온 눈의 수의 최댓값이 5가 되기 위해서는 66의 눈은 나오지 않아야 하고 55의 눈은 적어도 하나가 나와야 한다. 66의 눈이 나오지 않을 확률은 (56)n\displaystyle {\left( \frac{5}{6} \right)} ^{n} 66, 55의 눈이 나오지 않을 확률은 (46)n\displaystyle {\left( \frac{4}{6} \right)} ^{n} 이므로 6의 눈은 나오지 않고, 5의 눈은 적어도 하나가 나올 확률은 Pn=(56)n−(46)n\displaystyle {\mathrm{P}} _{n} \mathit{=} \left( \frac{5}{6} \right) ^{n} - \left( \frac{4}{6} \right) ^{n}이다. 따라서 ∑n=1∞Pn=∑n=1∞{(56)n−(23)n}\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} {\mathrm{P}} \mathit{_{n}} = \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left\{ \left( \frac{5}{6} \right) ^{n} - \left( \frac{2}{3} \right) ^{n} \right\}=561−56−231−23\displaystyle = \frac{\frac{5}{6}}{1 - \frac{5}{6}} - \frac{\frac{2}{3}}{1 - \frac{2}{3}}=5−2= 5 - 2 =3= 3

태그

#확률의 계산#무한등비급수

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