주사위 시행과 공의 개수 조건부확률

[출제의도] 조건부확률을 구할 수 있는가? $a _{5} + b _{5} \geq 7$인 사건을 $A$, $a _{k} = b _{k}$인 자연수 $k \left( 1 \leq k \leq 5 \right)$가 존재하는 사건을 $B$라 하자. 사건 $A$가 일어나는 경우는 $a _{5} + b _{5}$$= 7$$= 2 + 2 + 1 + 1 + 1$ $a _{5} + b _{5}$$= 8$$= 2 + 2 + 2 + 1 + 1$ $a _{5} + b _{5}$$= 9$$= 2 + 2 + 2 + 2 + 1$ $a _{5} + b _{5}$$= 10$$= 2 + 2 + 2 + 2 + 2$ 이고 주사위의 눈의 수가 $5$ 이상일 확률은 $\displaystyle \frac{1}{3}$, $4$ 이하일 확률은 $\displaystyle \frac{2}{3}$이므로 (ⅰ) $a _{5} + b _{5}$$= \mathit{7}$일 확률은 $\displaystyle {} _{5} \mathrm{C} _{2} \left( \frac{1}{3} \right) ^{2} \left( \frac{2}{3} \right) ^{3}$$\displaystyle = 10 \times \frac{8}{3 ^{5}}$ (ⅱ) $a _{5} + b _{5}$$= 8$일 확률은 $\displaystyle {} _{5} \mathrm{C} _{3} \left( \frac{1}{3} \right) ^{3} \left( \frac{2}{3} \right) ^{2}$$\displaystyle = 10 \times \frac{4}{3 ^{5}}$ (ⅲ) $a _{5} + b _{5}$$= 9$일 확률은 $\displaystyle {} _{5} \mathrm{C} _{4} \left( \frac{1}{3} \right) ^{4} \left( \frac{2}{3} \right) ^{1}$$\displaystyle = 5 \times \frac{2}{3 ^{5}}$ (ⅳ) $a _{5} + b _{5}$$= 10$일 확률은 $\displaystyle {} _{5} \mathrm{C} _{5} \left( \frac{1}{3} \right) ^{5}$$\displaystyle = \frac{1}{3 ^{5}}$ (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ), (ⅳ)에 의하여 $\mathrm{P} \mathit{\left( A \right)}$$\displaystyle = 10 \times \frac{8}{3 ^{5}} + 10 \times \frac{4}{3 ^{5}} + 5 \times \frac{2}{3 ^{5}} + \frac{1}{3 ^{5}}$ 또한, 사건 $A \cap B$인 경우는 (ⅰ), (ⅱ)의 경우 $3$번째 시행에서 $5$ 이상의 눈의 수가 $1$번, $4$ 이하의 눈의 수가 $2$번 일어나야 하고 (ⅴ), (ⅵ)인 경우는 사건 $A \cap B$은 일어나지 않는다. $\mathrm{P} \mathit{\left( A \cap B \right)}$$\displaystyle = _{3} \mathrm{C} _{1} \left( \frac{1}{3} \right) ^{1} \left( \frac{2}{3} \right) ^{2} \times _{2} C _{1} \left( \frac{1}{3} \right) \left( \frac{2}{3} \right) + _{3} C _{1} \left( \frac{1}{3} \right) \left( \frac{2}{3} \right) ^{2} \times \left( \frac{1}{3} \right) ^{2}$ $\displaystyle = 3 \times \frac{16}{3 ^{5}} + 3 \times \frac{4}{3 ^{5}}$ 그러므로 구하는 확률은 $\mathrm{P} \mathit{\left( B | A \right)}$ $\displaystyle = \frac{\mathrm{P} \mathit{\left( A \cap B \right)}}{\mathrm{P} \mathit{\left( A \right)}}$ $\displaystyle = \frac{3 \times \frac{16}{3 ^{5}} + 3 \times \frac{4}{3 ^{5}}}{10 \times \frac{8}{3 ^{5}} + 10 \times \frac{4}{3 ^{5}} + 5 \times \frac{2}{3 ^{5}} + \frac{1}{3 ^{5}}}$ $\displaystyle = \frac{48 + 12}{80 + 40 + 10 + 1}$ $\displaystyle = \frac{60}{131}$ 이므로 $p = 131$, $q = 60$ 따라서 $p + q$$= 131 + 60$$= 191$