주사위 승자 확률

[출제의도] 독립시행의 확률을 이용하여 실생활 문제를 해결한다. $\mathrm{A}$와 $\mathrm{B}$가 각각 주사위를 $5$번씩 던진 후, $\mathrm{A}$는 $1$의 눈이 $2$번, $\mathrm{B}$는 $1$의 눈이 $1$번 나왔고, $\mathrm{C}$가 주사위를 $3$번째 던졌을 때 처음으로 $1$의 눈이 나왔으므로 $\mathrm{A}$가 승자가 되기 위해서는 $\mathrm{C}$가 주사위를 $4$번째, $5$번째 던졌을 때 모두 $1$이 아닌 눈이 나와야 한다. 주사위를 $1$번 던질 때, $1$이 아닌 눈이 나올 확률은 $\displaystyle \frac{5}{6}$이므로 $\mathrm{A}$가 승자가 될 확률은 $\displaystyle \frac{5}{6} \times \frac{5}{6}$$\displaystyle = \frac{25}{36}$ 또, $\mathrm{C}$가 승자가 되기 위해서는 $\mathrm{C}$가 주사위를 $4$번째, $5$번째 던졌을 때 모두 $1$의 눈이 나와야 하므로 $\mathrm{C}$가 승자가 될 확률은 $\displaystyle \frac{1}{6} \times \frac{1}{6}$$\displaystyle = \frac{1}{36}$ 따라서 $\mathrm{A}$ 또는 $\mathrm{C}$가 승자가 될 확률은 $\displaystyle \frac{25}{36} + \frac{1}{36}$$\displaystyle = \frac{26}{36}$$\displaystyle = \frac{13}{18}$ [다른 풀이] $\mathrm{B}$가 승자가 되기 위해서는 $\mathrm{C}$가 주사위를 $4$번째, $5$번째 던졌을 때 $1$의 눈이 $1$번, $1$이 아닌 눈이 $1$번 나와야 하므로 $\mathrm{B}$가 승자가 될 확률은 $\displaystyle {} _{2} \mathrm{C} _{1} \times \frac{1}{6} \times \frac{5}{6}$$\displaystyle = \frac{5}{18}$ 따라서 $\mathrm{A}$ 또는 $\mathrm{C}$가 승자가 될 확률은 여사건의 확률에 의하여 $\displaystyle 1 - \frac{5}{18}$$\displaystyle = \frac{13}{18}$