주사위 세 번의 확률

한 개의 주사위를 세 번 던졌을 때 나오는 모든 경우의 수는 $\displaystyle {}_{6} \prod _{3} = 6 ^{3}$ $a + b = 8$을 만족시키는 사건을 $A$, $b \geq c$를 만족시키는 사건을 $B$라 하자. $a + b = 8$인 순서쌍 $\left( a , b \right)$를 구하면 $\left( 2 , 6 \right)$, $\left( 3 , 5 \right)$, $\left( 4 , 4 \right)$, $\left( 5 , 3 \right)$, $\left( 6 , 2 \right)$ 이 각각에 대하여 $c$의 경우의 수는 모두 $6$이므로 $\displaystyle \mathrm{P} \mathit{\left( A \right)} = \frac{5 \times 6}{6 ^{3}} = \frac{5}{36}$ $b \geq c$를 만족시키는 경우는 $6$개의 수에서 중복을 허락하여 $2$개의 수를 뽑는 경우의 수와 같으므로 ${}_{6} \mathrm{H} _{2} = _{7} C _{2} = 21$ 이고 $a$의 경우의 수는 모두 $6$이므로 $\displaystyle \mathrm{P} \mathit{\left( B \right)} = \frac{6 \times 21}{6 ^{3}} = \frac{7}{12}$ 또 사건 $A \cap B$에 대하여 $a = 2$, $b = 6$일 때 $c \in \left\{ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 \right\}$ $a = 3$, $b = 5$일 때 $c \in \left\{ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 \right\}$ $a = 4$, $b = 4$일 때 $c \in \left\{ 1 , 2 , 3 , 4 \right\}$ $a = 5$, $b = 3$일 때 $c \in \left\{ 1 , 2 , 3 \right\}$ $a = 6$, $b = 2$일 때 $c \in \left\{ 1 , 2 \right\}$ 이므로 $\displaystyle \mathrm{P} \mathit{\left( A \cap B \right)} = \frac{6 + 5 + 4 + 3 + 2}{6 ^{3}} = \frac{5}{54}$ 따라서 구하려는 사건이 $A \cup B$이므로 그 확률은 $\mathrm{P} \mathit{\left( A \cup B \right)}$$= \mathrm{P} \mathit{\left( A \right)} + \mathrm{P} \mathit{\left( B \right)} - \mathrm{P} \mathit{\left( A \cap B \right)}$ $\displaystyle = \frac{5}{36} + \frac{7}{12} - \frac{5}{54}$$\displaystyle = \frac{17}{27}$ $\therefore$ $p + q = 44$