주사위 조건부확률

[출제의도] 독립시행의 확률을 이용하여 조건부확률을 구할 수 있는가 한 개의 주사위를 두 번 던질 때 $a {\times} b$가 $4$의 배수인 사건을 $A$, $a + b {\leq} 7$인 사건을 $B$라 하면 구하는 확률을 ${\mathrm{P}} \left( B | A \right)$이다. (ⅰ) $a$, $b$가 모두 짝수일 확률은 $\displaystyle {} _{2} {\mathrm{C}} _{2} \left( \frac{1}{2} \right) ^{2} = \frac{1}{4}$ (ⅱ) $a$, $b$ 중 하나는 $4$이고 다른 하나는 홀수일 확률은 $\displaystyle {} _{2} {\mathrm{C}} _{1} \left( \frac{1}{6} \right) \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{6}$ (ⅰ), (ⅱ)에서 $\displaystyle {\mathrm{P}} \left( A \right) = \frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{5}{12}$ 한편, 한 개의 주사위를 두 번 던질 때 나오는 눈의 수의 모든 순서쌍 $\left( a , b \right)$의 개수는 $6 \times 6 = 36$이다. (ⅲ) $a$, $b$가 모두 짝수인 동시에 $a + b {\leq} 7$인 순서쌍 $\left( a , b \right)$는 $\left( 2 , 2 \right)$, $\left( 2 , 4 \right)$, $\left( 4 , 2 \right)$의 $3$개다. (ⅳ) $a$, $b$ 중 하나는 $4$이고 다른 하나는 홀수인 동시에 $a + b {\leq} 7$인 순서쌍 $\left( a , b \right)$는 $\left( 4 , 1 \right)$, $\left( 4 , 3 \right)$, $\left( 1 , 4 \right)$, $\left( 3 , 4 \right)$의 $4$개다. (ⅲ), (ⅳ)에서 ${\mathrm{P}} \left( A {\cap} B \right)$$\displaystyle = \frac{3 + 4}{36} = \frac{7}{36}$ 따라서 구하는 확률은 ${\mathrm{P}} \left( B | A \right)$$\displaystyle = \frac{{\mathrm{P}} \left( A {\cap} B \right)}{{\mathrm{P}} \left( A \right)} = \frac{\frac{7}{36}}{\frac{5}{12}} = \frac{7}{15}$