주사위 조건부확률

서로 다른 다섯 개의 주사위를 동시에 던질 때, 나온 다섯 개의 눈의 수의 곱이 홀수인 사건을 $A$, 다섯 개의 눈의 수의 합이 $15$인 사건을 $B$라 하자. 다섯 개의 눈의 수의 곱이 홀수이려면 각 주사위의 눈의 수가 모두 홀수여야 하므로 각 주사위에서 $1$, $3$, $5$ 중 하나의 눈이 나와야 한다. 따라서 사건 $A$의 경우의 수는 $n \left( A \right) = 3 ^{5} = 243$ 사건 $A \cap B$는 각 주사위의 눈의 수가 모두 홀수이면서 그 합이 $15$인 사건이다. 즉, $1$, $3$, $5$ 중에서 중복을 허락하여 $5$개를 택해 그 합이 $15$가 되는 경우를 구하면 (ⅰ) $3$이 $5$개일 때 즉, $3$, $3$, $3$, $3$, $3$인 경우의 수는 $\displaystyle \frac{5 !}{5 !} = 1$ (ⅱ) $1$이 $1$개, $3$이 $3$개, $5$가 $1$개일 때 즉, $1$, $3$, $3$, $3$, $5$인 경우의 수는 $\displaystyle \frac{5 !}{1 ! \times 3 ! \times 1 !} = 20$ (ⅲ) $1$이 $2$개, $3$이 $1$개, $5$가 $2$개일 때 즉, $1$, $1$, $3$, $5$, $5$인 경우의 수는 $\displaystyle \frac{5 !}{2 ! \times 1 ! \times 2 !} = 30$ 이상에서 $n \left( A \cap B \right) = 1 + 20 + 30 = 51$ $\therefore$ $\displaystyle {\mathrm{P}} \left( B \left| A \right. \right) = \frac{n \left( A \cap B \right)}{n \left( A \right)} = \frac{51}{243} = \frac{17}{81}$ 이때 $p = 81$, $q = 17$은 서로소인 자연수이므로 $p + q = 81 + 17 = 98$