확률과 통계조건부확률수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

주사위 함수값 합 확률

문제

한 개의 주사위를 던져서 나온 눈의 수 $n$ 에 대하여 $\displaystyle f ( n ) = n + 2 ( - 1 ) ^{n} - 2 \left[ \frac{n}{2} \right]$ 이라 하자. 한 개의 주사위를 $5$ 번 던져서 나온 눈의 수 $n _{1}$ , $n _{2}$ , $n _{3}$ , $n _{4}$ , $n _{5}$ 에 대하여 $f ( n _{1} ) + f ( n _{2} ) + f ( n _{3} ) + f ( n _{4} ) + f ( n _{5} ) = 4$ 일 확률을 $\displaystyle \frac{a}{b}$ 라 할 때, $a + b$ 의 값을 구하시오. (단, $[ x ]$ 는 $x$ 를 넘지 않는 최대 정수이고, $a$ , $b$ 는 서로소인 자연수이다.) [4점]

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해설

$f ( 1 ) = f ( 3 ) = f ( 5 ) = - 1$ , $f ( 2 ) = f ( 4 ) = f ( 6 ) = 2$ 짝수의 눈이 나온 횟수를 $X$ , 홀수의 눈이 나온 횟수를 $Y$ 라 하면 던진 횟수는 5이므로 $X + Y = 5 \cdots \cdots$ ㉠ $f ( n _{1} ) + f ( n _{2} ) + f ( n _{3} ) + f ( n _{4} ) + f ( n _{5} ) = 4$ 이므로 $2 X - Y = 4 \cdots \cdots$ ㉡㉠과 ㉡을 연립하면 $X = 3$ , $Y = 2$ $5$ 번 중 주사위의 눈이 짝수가 $3$ 번, 홀수가 $2$ 번 나올 확률은 $\displaystyle {} _{5} \mathrm{C} _{3} \left( \frac{1}{2} \right) ^{3} \left( \frac{1}{2} \right) ^{2} = \frac{5}{16}$ ∴ $a + b = 5 + 16 = 21$

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