주사위 곱 경우의 수

[출제의도] 순열 추론하기 (ⅰ) 한 개의 주사위를 $3$번 던져서 나오는 모든 경우의 수는 $216$이다. (ⅱ) 한 개의 주사위를 $3$번 던져서 나오는 눈의 수의 곱이 홀수인 경우는 $1$, $3$, $5$ 중에서 중복을 허락하여 $3$개를 선택한 후 일렬로 배열하는 중복순열과 같으므로 이 경우의 수는 $\displaystyle \left. {} _{3} \prod _{3} = 3 ^{3} = {\square {27}} \right.$이다. (ⅲ) $6$ 이하의 짝수는 $2$, $4$, $6$이므로 세 수의 곱이 $2$인 경우의 수는 $2$, $1$, $1$을 일렬로 배열하는 순열의 수와 같으므로 $\displaystyle \frac{3 !}{2 !} = 3$ $4$인 경우의 수는 $4$, $1$, $1$ 또는 $2$, $2$, $1$을 일렬로 배열하는 순열의 수와 같으므로 $\displaystyle \frac{3 !}{2 !} + \frac{3 !}{2 !} = 3 + 3 = 6$ $6$인 경우의 수는 $6$, $1$, $1$ 또는 $3$, $2$, $1$을 일렬로 배열하는 순열의 수와 같으므로 $\displaystyle \frac{3 !}{2 !} + 3 ! = 3 + 6 = 9$이다. 그러므로 한 개의 주사위를 $3$번 던져서 나오는 눈의 수의 곱이 $6$ 이하의 짝수인 경우의 수는 $\left. 3 + 6 + 9 = {\square {18}} \right.$이다. 따라서 한 개의 주사위를 $3$번 던져서 나오는 눈의 수의 곱이 $8$ 이상의 짝수인 경우의 수는 $\left. 216 - 27 - 18 = {\square {171}} \right.$이다. $\therefore$ $a = 27$, $b = 18$, $c = 171$ 따라서 $3 a + 2 b + c = 288$