중선과 cos C

[출제의도] 도형의 닮음을 이용하여 삼각비를 구하는 문제를 해결한다. 점 $\mathrm{A}$에서 선분 $\mathrm{BC}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하고, $\displaystyle \mathrm{\overline{HM}} = \mathit{a}$($a > 0$)라 하자. 삼각형 $\mathrm{AMH}$는 세 각의 크기가 각각 $30 ^\circ$, $60 ^\circ$, $90 ^\circ$인 삼각형이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AH}}} = \sqrt{3} a$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{AM}}} = 2 a$ 삼각형 $\mathrm{BAH}$는 세 각의 크기가 각각 $30 ^\circ$, $60 ^\circ$, $90 ^\circ$인 삼각형이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{BH}}} = 3 a$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} = 2 \sqrt{3} a$ $\displaystyle \mathrm{\overline{BM}} = {\overline{BH}} + {\overline{HM}} \mathit{=} 3 a + a = 4 a$이고, $\displaystyle \mathrm{\overline{BM}} = {\overline{CM}}$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{CM}}} = 4 a$ $\displaystyle \mathrm{\overline{HC}} = {\overline{HM}} + {\overline{MC}} = \mathit{a} + 4 a = 5 a$이고, 삼각형 $\mathrm{AHC}$는 직각삼각형이므로 피타고라스의 정리에 의하여 $\displaystyle \mathrm{\overline{AH}} ^{2} + {\overline{HC}} ^{2} = {\overline{AC}} ^{2}$ 이때, $\displaystyle {\overline{\mathrm{AH}}} = \sqrt{3} a$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{HC}}} = 5 a$이므로 $\displaystyle ( \sqrt{3} a ) ^{2} + ( 5 a ) ^{2} = {\overline{\mathrm{AC}}} ^{2}$으로부터 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AC}}} = \sqrt{28 a ^{2}} = 2 \sqrt{7} a$ 따라서 $\displaystyle \cos C = \frac{\mathrm{{\overline{CH}}}}{{\overline{AC}}} \frac{= \mathit{5 a}}{2 \sqrt{7} a} = \frac{5 \sqrt{7}}{14}$