중점과 삼등분점 넓이

[출제의도] 닮음비를 이해하여 주어진 삼각형의 넓이를 구한다.

삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이를 $S$라 하자. 삼각형 $\mathrm{AFG}$의 높이는 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 높이와 같고 삼각형 $\mathrm{AFG}$의 밑변의 길이는 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 밑변의 길이의 $\displaystyle \frac{1}{3}$이므로 (삼각형 $\mathrm{AFG}$의 넓이)$=$$\displaystyle \frac{1}{3} S$ 이다. 점 $\mathrm{D}$, $\mathrm{E}$가 각각 선분 $\mathrm{AB}$, $\mathrm{AC}$의 중점이므로 삼각형의 중점연결정리에 의하여 $\displaystyle {\overline{\mathrm{DE}}} = \frac{1}{2} \mathrm{\overline{BC}}$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{HI}}} = \frac{1}{2} \mathrm{\overline{FG}}$ $\triangle \mathrm{AHI}$󰁀$\triangle \mathrm{AFG}$이고 닮음비가 $1 : 2$이므로 넓이의 비는 $1 : 4$이다. (삼각형 $\mathrm{AFG}$의 넓이)$=$(삼각형 $\mathrm{AHI}$의 넓이)$+$(사각형 $\mathrm{HFGI}$의 넓이) (사각형 $\mathrm{HFGI}$의 넓이)$=$$\displaystyle \frac{3}{4} \times$(삼각형 $\mathrm{AFG}$의 넓이) 이므로 (사각형 $\mathrm{HFGI}$의 넓이)$=$$\displaystyle \frac{3}{4} \times$$\displaystyle \frac{1}{3} S$$\displaystyle = \frac{1}{4} S$ 따라서 사각형 $\mathrm{HFGI}$의 넓이가 $3$이므로 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이 $S$는 $12$이다.