중복순열 문자열 확률

문자 $a$, $b$, $c$, $d$ 중 중복을 허락하여 $4$개를 택해 일렬로 나열하여 만들 수 있는 문자열의 개수는 $\displaystyle \mathit{_{4}} \prod _{4} = 4 ^{4}$ (ⅰ) $a$를 한 개만 포함할 때 네 자리 중 $a$가 들어갈 곳을 선택하는 경우의 수는 $4$가지 남은 세 자리에 $b$, $c$, $d$의 $3$개의 문자 중 중복을 허용하여 배열하는 경우의 수는 $\displaystyle \mathit{_{3}} \mathrm{\prod} _{3}$ 따라서 구하는 경우의 수는 $\displaystyle 4 \times \mathit{_{3}} \mathrm{\prod} _{3} = 108$ (ⅱ) $b$를 한 개만 포함할 때 (ⅰ)에서와 같은 방법으로 문자열의 개수는 $108$이다. (ⅲ) $a$, $b$를 각각 한 개씩 포함할 때 네 자리 중 $a$, $b$가 들어갈 두 자리를 선택해서 $a$, $b$를 배열하는 경우의 수는 ${}_{4} \mathrm{P} _{2}$ 남은 두 자리에 $c$, $d$의 $2$개의 문자 중 중복을 허용하여 배열하는 경우의 수는 $\displaystyle {}_{2} \prod _{2}$ 따라서 구하는 경우의 수는 $\displaystyle {}_{4} \mathrm{P} _{2} \times _{2} \prod _{2} = 48$ 이상에서 구하는 확률은 $\displaystyle \frac{108 + 108 - 48}{4 ^{4}} = \frac{21}{32}$