중복조합의 합

${}_{3} {\mathrm{H}} _{1} + _{3} {\mathrm{H}} _{2} + _{3} {\mathrm{H}} _{3}$$= _{3} {\mathrm{C}} _{1} + _{4} {\mathrm{C}} _{2} + _{5} {\mathrm{C}} _{3}$$= 3 + 6 + 10 = 19$ [참고] $x _{1} + x _{2} + \cdots + x _{n} \leq m$을 만족시키는 음이 아닌 정수 $x _{1}$, $x _{2}$, ⋯, $x _{n}$을 정하는 방법의 수는 $\displaystyle \sum\limits _{k=0} ^{m} {}_{n} {\mathrm{H}} _{k}$이다. 그런데 $x _{1} + x _{2} + \cdots + x _{n} \leq m$이면 $x _{1} + x _{2} + \cdots + x _{n} + x _{n+1} = m$을 만족시키는 음이 아닌 정수 $x _{n+1}$이 존재하므로 결국 $\displaystyle \sum\limits _{k=0} ^{m} {}_{n} {\mathrm{H}} _{k}$$= _{n + 1} {\mathrm{H}} _{m}$이다. 위의 공식에 의하여 ${}_{3} {\mathrm{H}} _{1} + _{3} {\mathrm{H}} _{2} + _{3} {\mathrm{H}} _{3}$$= _{4} \mathrm{H} _{3} - _{3} \mathrm{H} _{0}$$= 20 - 1$$= 19$ 로 계산할 수 있다.