확률과 통계순열과 조합수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

중복조합 순서쌍

문제

다음 조건을 만족시키는 음이 아닌 정수 x1,x2,x3x _{1} , x _{2} , x _{3}의 모든 순서쌍 (x1,x2,x3)( x _{1} , x _{2} , x _{3} )의 개수를 구하시오. [4점]

(가) n=1,2n = 1 , 2일 때, xn+1−xn≥2x _{n + 1} - x _{n} \geq 2이다. (나) x3≤10x _{3} \leq 10

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84

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해설

[출제의도] 중복조합의 수를 이용하여 조건을 만족시키는 순서쌍의 개수를 구할 수 있는가? 조건 (가)에 의하여 x1≤x2−2,x2,x3−2x _{1} \leq x _{2} - 2 , x _{2} , x _{3} - 2 이고, 조건 (나)에 의하여 x3≤10x _{3} \leq 10 이므로 0≤x1≤x2−2≤x3−4≤60 \leq x _{1} \leq x _{2} - 2 \leq x _{3} - 4 \leq 6 이때, x2−2=x2′,x3−4=x3′x _{2} - 2 = {x _{2}}' , x _{3} - 4 = {x _{3}}' 이라 하면 0≤x1≤x2′≤x3′≤60 \leq x _{1} \leq x _{2}' \leq x _{3}' \leq 6 ⋯㉠\cdots \text{㉠} 이고, 주어진 조건을 만족시키는 음이 아닌 정수 x1,x2,x3x _{1} , x _{2} , x _{3}의 모든 순서쌍 (x1,x2,x3)\left( x _{1} , x _{2} , x _{3} \right) 의 개수는 ㉠\text{㉠}을 만족시키는 음이 아닌 정수 x1,x2′,x3′x _{1} , x _{2}' , x _{3}'의 모든 순서쌍 (x1,x2′,x3′)\left( x _{1} , x _{2}' , x _{3}' \right)의 개수와 같다. 따라서 구하는 순서쌍의 개수는 0,1,2,⋯ ,60 , 1 , 2 , \cdots , 6의 77개에서 중복을 허락하여 33개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 7H3=7+3−1C3\mathrm{_{7}} H _{3} = _{7+3-1} C _{3}=9C3=9×8×73×2×1=84\displaystyle = \mathrm{_{9}} C _{3} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84

태그

#중복조합#순서쌍

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