중복조합 확률

[출제의도] 중복조합을 이용하여 관련 문항을 해결할 수 있다. 방정식 $a + b + c + d = 6$을 만족시키는 음이 아닌 정수 $a , b , c , d$의 모든 순서쌍 $( a , b , c , d )$의 개수는 ${} _{4} H _{6} = _{9} C _{6} = 84$ 순서쌍 $( a , b , c , d )$중에서 $a = 2 b$ 를 만족시키는 경우의 수는 $3 b + c + d = 6$을 만족시키는 음이 아닌 순서쌍 $( b , c , d )$의 개수와 같다. 방정식 $3 b + c + d = 6$에서 (1) $b = 0$일 때 ${} _{2} H _{6} = _{7} C _{6} = 7$ (2) $b = 1$일 때 ${} _{2} H _{3} = _{4} C _{3} = 4$ (3) $b = 2$일 때 ${} _{2} H _{0} = _{1} C _{0} = 1$ 구하는 경우의 수는 $7 + 4 + 1 = 12$ 따라서 방정식 $a + b + c + d = 6$을 만족시키는 음이 아닌 정수 $a , b , c , d$의 모든 순서쌍 $( a , b , c , d )$중에서 임의로 한 개를 선택한 순서쌍 $( a , b , c , d )$가 $a = 2 b$를 만족시킬 확률은 $\displaystyle \frac{12}{84} = \frac{1}{7}$ 따라서 $p = 7$, $q = 1$이므로 $p + q = 8$