중복조합 확률

[출제의도] 중복조합을 이용하여 관련 문항을 해결할 수 있다. 방정식 $a + b + c + d = 6$을 만족시키는 음이 아닌 정수 $a , b , c , d$의 모든 순서쌍 $( a , b , c , d )$의 개수는 ${} _{4} H _{6} = _{9} C _{6} = 84$ 모든 순서쌍 $( a , b , c , d )$중에서 임의로 한 개를 선택할 때, 선택한 순서쌍 $( a , b , c , d )$가 (1) $a = 2 b$인 경우의 수는 $3 b + c + d = 6$을 만족시키는 모든 순서쌍 $( b , c , d )$의 개수와 같으므로 $b = 0$일 때 ${} _{2} H _{6} = _{7} C _{6} = 7$ $b = 1$일 때 ${} _{2} H _{3} = _{4} C _{3} = 4$ $b = 2$일 때 ${} _{2} H _{0} = _{1} C _{0} = 1$ 구하는 경우의 수는 $7 + 4 + 1 = 12$ (2) $c = 2 d$인 경우의 수는 $a = 2 b$인 경우의 수와 같으므로 12 (3) $a = 2 b$이고 $c = 2 d$인 경우의 수는 $3 b + 3 d = 6 , b + d = 2$이므로 $b + d = 2$를 만족시키는 모든 순서쌍 $( b , d )$의 개수와 같으므로 ${} _{2} H _{2} = _{3} C _{2} = 3$ 따라서 $a \ne 2 b$이고 $c \ne 2 d$가 성립할 확률은 $\displaystyle 1 - \frac{12 + 12 - 3}{84} = \frac{63}{84} = \frac{3}{4}$ 따라서 $p = 4 , q = 3$이므로 $p + q = 7$