확률과 통계조건부확률수능 기출기본 문제 (3점 중반)

주머니 선택 조건부확률

문제

주머니 $\mathrm{A}$ 에는 흰 공 $2$ 개, 검은 공 $4$ 개가 들어 있고, 주머니 $\mathrm{B}$ 에서는 흰 공 $3$ 개, 검은 공 $3$ 개가 들어 있다. 두 주머니 $\mathrm{A} , B$ 와 한 개의 주사위를 사용하여 다음 시행을 한다.

주사위를 한 번 던져 나온 눈의 수가 $5$ 이상이면 주머니 $\mathrm{A}$ 에서 임의로 $2$ 개의 공을 동시에 꺼내고, 나온 눈의 수가 $4$ 이하이면 주머니 $\mathrm{B}$ 에서 임의로 $2$ 개의 공을 동시에 꺼낸다.

이 시행을 한 번 하여 주머니에서 꺼낸 $2$ 개의 공이 모두 흰 색일 때, 나온 눈의 수가 $5$ 이상일 확률은? [3점] ① $\displaystyle \frac{1}{7}$ ② $\displaystyle \frac{3}{14}$ ③ $\displaystyle \frac{2}{7}$ ④ $\displaystyle \frac{5}{14}$ ⑤ $\displaystyle \frac{3}{7}$

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①

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해설

[출제의도] 조건을 만족시키는 조건부확률을 구할 수 있는가? 주머니에서 꺼낸 $2$ 개의 공이 모두 흰 공인 사건을 $E$ , 주사위의 눈의 수가 $5$ 이상인 사건을 $F$ 라 하면 구하는 확률은 $\mathrm{P} \mathit{\left( F | E \right)}$ $\displaystyle = \frac{\mathrm{P} \mathit{\left( E \cap F \right)}}{\mathrm{P} \mathit{\left( E \right)}}$ $\mathrm{P} \mathit{\left( E \right)}$ $\displaystyle = \frac{1}{3} \times \frac{{} _{2} \mathrm{C} _{2}}{{} _{6} \mathrm{C} _{2}} + \frac{2}{3} \times \frac{{} _{3} \mathrm{C} _{2}}{{} _{6} \mathrm{C} _{2}}$ $\displaystyle = \frac{1}{3} \times \frac{1}{15} + \frac{2}{3} \times \frac{3}{15}$ $\displaystyle = \frac{1}{45} + \frac{6}{45}$ $\displaystyle = \frac{7}{45}$ $\mathrm{P} \mathit{\left( E \cap F \right)}$ $\displaystyle = \frac{1}{3} \times \frac{{} _{3} \mathrm{C} _{2}}{{} _{6} \mathrm{C} _{2}}$ $\displaystyle = \frac{1}{45}$ 따라서 $\mathrm{P} \mathit{\left( F | E \right)}$ $\displaystyle = \frac{\mathrm{P} \mathit{\left( E \cap F \right)}}{\mathrm{P} \mathit{\left( E \right)}}$ $\displaystyle = \frac{\frac{1}{45}}{\frac{7}{45}}$ $\displaystyle = \frac{1}{7}$

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