주머니 조건부확률

[출제의도] 이해능력-확률 6개의 주머니 중에서 임의로 2개를 선택하여 주머니 속에 있는 공을 모두 꺼낼 때, 꺼낸 공에 흰 공이 1개 이상 있는 사건을 $A$, 검은 공이 1개 이상 있는 사건을 $B$라 하면 구하는 확률은 $P ( B | A )$이다. 꺼낸 공에 검은 공만 있을 확률은 $\displaystyle \mathrm{P} ( A ^{C} ) = \frac{{} _{2} C _{2}}{{} _{6} C _{2}} = \frac{1}{15}$ $\cdots \text{㉠}$ 이므로 $\displaystyle \mathrm{P} ( A ) = 1 - P ( A ^{C} ) = 1 - \frac{1}{15} = \frac{14}{15}$ 꺼낸 공에 흰공만 있을 확률은 $\displaystyle \mathrm{P} ( B ^{C} ) = \frac{{} _{3} C _{2}}{{} _{6} C _{2}} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}$ $\cdots \text{㉡}$ 이때 흰 공만 있는 사건과 검은 공만 있는 사건은 서로 배반사건이므로 ㉠, ㉡에서 흰 공만 있거나 검은 공만 있을 확률 즉, 사건 $\mathrm{A} ^{C} \cup B ^{C} = ( A \cap B ) ^{C}$이 일어날 확률은 $\displaystyle \mathrm{P} ( ( A \cap B ) ^{C} ) = \frac{1}{15} + \frac{1}{5} = \frac{4}{15}$ 따라서 꺼낸 공에 흰 공과 검은 공이 각각 1개 이상씩 있을 확률은 $\displaystyle \mathrm{P} ( A \cap B ) = 1 - P ( ( A \cap B ) ^{C} ) = 1 - \frac{4}{15} = \frac{11}{15}$ 따라서 구하는 확률은 $\displaystyle \mathrm{P} ( B | A ) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )} = \frac{\frac{11}{15}}{\frac{14}{15}} = \frac{11}{14}$ 따라서 $p = 14$, $q = 11$, $p + q = 25$