주머니 공 옮기기

각 주머니의 흰 공의 개수와 검은 공의 개수를 (흰 공 개수, 검은 공 개수) 로 나타내기로 하자. 주머니 $\mathrm{A}$의 공의 개수가 정해지면 주머니 $\mathrm{B}$의 공의 개수도 정해지므로 주머니 $\mathrm{A}$의 공의 개수의 변화만 고려해도 된다. (ⅰ) $1$회의 시행에서 주머니 $\mathrm{A}$의 공의 개수의 변화에 따른 확률은 다음과 같다. (1) $\left( 1 , 1 \right) \rightarrow \left( 0 , 1 \right)$, $\left( 1 , 1 \right) \rightarrow \left( 1 , 0 \right)$, $\left( 1 , 1 \right) \rightarrow \left( 1 , 2 \right)$, $\left( 1 , 1 \right) \rightarrow \left( 2 , 1 \right)$일 확률은 모두 $\displaystyle \frac{1}{4}$ (2) $\left( 0 , 1 \right) \rightarrow \left( 0 , 2 \right)$일 확률은 $\displaystyle \frac{1}{3}$, $\left( 0 , 1 \right) \rightarrow \left( 0 , 0 \right)$일 확률은 $\displaystyle \frac{2}{3}$ (3) $\left( 1 , 0 \right) \rightarrow \left( 2 , 0 \right)$일 확률은 $\displaystyle \frac{1}{3}$, $\left( 1 , 0 \right) \rightarrow \left( 0 , 0 \right)$일 확률은 $\displaystyle \frac{2}{3}$ (4) $\left( 1 , 2 \right) \rightarrow \left( 1 , 1 \right)$, $\left( 2 , 1 \right) \rightarrow \left( 1 , 1 \right)$일 확률은 $\displaystyle \frac{2}{3}$ (5) $\left( 0 , 2 \right) \rightarrow \left( 0 , 1 \right)$, $\left( 2 , 0 \right) \rightarrow \left( 1 , 0 \right)$일 확률은 $1$ (ⅱ) $4$회의 시행 후 주머니 $\mathrm{A}$에 들어있는 공의 개수가 $0$일 확률은 다음과 같다. (1) $\left( 1 , 1 \right) \rightarrow \left( 0 , 1 \right) \rightarrow \left( 0 , 2 \right) \rightarrow \left( 0 , 1 \right) \rightarrow \left( 0 , 0 \right)$일 확률은 $\displaystyle \frac{1}{4} \times \frac{1}{3} \times 1 \times \frac{2}{3} = \frac{1}{18}$ (2) $\left( 1 , 1 \right) \rightarrow \left( 1 , 0 \right) \rightarrow \left( 2 , 0 \right) \rightarrow \left( 1 , 0 \right) \rightarrow \left( 0 , 0 \right)$일 확률은 $\displaystyle \frac{1}{4} \times \frac{1}{3} \times 1 \times \frac{2}{3} = \frac{1}{18}$ (3) $\left( 1 , 1 \right) \rightarrow \left( 1 , 2 \right) \rightarrow \left( 1 , 1 \right) \rightarrow \left( 1 , 0 \right) \rightarrow \left( 0 , 0 \right)$ 또는 $\left( 1 , 1 \right) \rightarrow \left( 1 , 2 \right) \rightarrow \left( 1 , 1 \right) \rightarrow \left( 0 , 1 \right) \rightarrow \left( 0 , 0 \right)$일 확률은 $\displaystyle \frac{1}{4} \times \frac{2}{3} \times \left( \frac{1}{4} \times \frac{2}{3} + \frac{1}{4} \times \frac{2}{3} \right) = \frac{1}{18}$ (4) $\left( 1 , 1 \right) \rightarrow \left( 2 , 1 \right) \rightarrow \left( 1 , 1 \right) \rightarrow \left( 1 , 0 \right) \rightarrow \left( 0 , 0 \right)$ 또는 $\left( 1 , 1 \right) \rightarrow \left( 2 , 1 \right) \rightarrow \left( 1 , 1 \right) \rightarrow \left( 0 , 1 \right) \rightarrow \left( 0 , 0 \right)$일 확률은 $\displaystyle \frac{1}{4} \times \frac{2}{3} \times \left( \frac{1}{4} \times \frac{2}{3} + \frac{1}{4} \times \frac{2}{3} \right) = \frac{1}{18}$ 이상에서 $4$회 시행 후 주머니 $\mathrm{A}$에 들어 있는 공의 개수가 $0$인 사건을 $E$라 하면 $\displaystyle \mathrm{P} \left( \mathit{E} \right) = \frac{1}{18} \times 4 = \frac{2}{9}$ $2$회 시행 후 주머니 $\mathrm{A}$에 들어 있는 흰 공의 개수가 $1$ 이상인 사건을 $F$라 하면 사건 $E \cap F$가 일어나는 경우는 (ⅱ)의 (2), (3), (4)에 해당하므로 $\displaystyle \mathrm{P} \left( \mathit{E} \cap F \right) = \frac{1}{18} \times 3 = \frac{1}{6}$ $\therefore$$\displaystyle p = \mathrm{P} \left( \mathit{F} \right| E ) = \frac{\mathrm{P} \left( \mathit{E} \cap F \right)}{\mathrm{P} \left( \mathit{E} \right)} = \frac{\frac{1}{6}}{\frac{2}{9}} = \frac{3}{4}$ $\therefore$$36 p = 27$