확률과 통계조건부확률수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

주머니 공 옮기기

문제

AA 주머니에 흰 공 22개, 검은 공 55개 그리고 BB 주머니에 흰 공 33개, 검은 공 44개가 들어 있다. AA 주머니에서 한 개의 공을 임의로 꺼내어 BB 주머니에 넣은 다음 다시 BB 주머니에서 하나의 공을 꺼내기로 한다. BB 에서 꺼낸 공이 흰 공일 때, AA에서 BB 로 옮겨진 공이 흰 공이었을 확률은 qp\displaystyle \frac{q}{p}이다. 10p+q10 p + q 의 값을 구하시오. (단, pp 와 qq 는 서로소인 자연수이다.) [4점]

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해설

B주머니에서 꺼낸 공이 흰 공일 경우는 다음의 두 가지 이므로 확률을 구하면 (ⅰ) A주머니에서 흰 공을 꺼내어 B주머니에 넣었을 때 흰 공이 나오는 경우 2C17C1×4C18C1=27×48=856\displaystyle \frac{\mathrm{{}_{2} C _{1}}}{{}_{7} C _{1}} \times \frac{{}_{4} C _{1}}{{}_{8} C _{1}} = \frac{2}{7} \times \frac{4}{8} = \frac{8}{56} (ⅱ) A주머니에서 검은 공을 꺼내어 B주머니에 넣었을 때 흰 공이 나오는 경우 5C17C1×3C18C1=57×38=1556\displaystyle \frac{\mathrm{{}_{5} C _{1}}}{{}_{7} C _{1}} \times \frac{{}_{3} C _{1}}{{}_{8} C _{1}} = \frac{5}{7} \times \frac{3}{8} = \frac{15}{56} 따라서, 구하는 확률은 (A에서B로옮겨진공이흰공일경우의수)(B에서꺼낸공이흰공일확률)\displaystyle \frac{\mathrm{( A \text{에서} B \text{로} \text{옮겨진} \text{공이} \text{흰} \text{공일} \text{경우의} \text{수} )}}{( B \text{에서} \text{꺼낸} \text{공이} \text{흰} \text{공일} \text{확률} )}=856856+1556\displaystyle = \frac{\frac{8}{56}}{\frac{8}{56} + \frac{15}{56}}=823\displaystyle = \frac{8}{23} 이 때, p=23p = 23, q=8q = 8이므로 10p+q=10⋅23+8=23810 p + q = 10 \cdot 23 + 8 = 238

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#조건부확률#베이즈

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