주기함수와 직선 교점 극한

모든 실수 $x$에 대하여 $f ( x + 2 ) = f ( x )$이므로 함수 $y = f ( x )$는 주기가 $2$인 함수이다. 따라서, $f ( x )$의 그래프는 아래 그림과 같다.

직선 $\displaystyle y = \frac{1}{2 n} x + \frac{1}{4 n}$과 함수 $y = f ( x )$의 그래프와의 교점의 개수는 $a _{n}$ $n = 1$일 때, $\displaystyle y = \frac{1}{2} x + \frac{1}{4}$이므로 $a _{1} = 3$ $n = 2$일 때, $\displaystyle y = \frac{1}{4} x + \frac{1}{8}$이므로 $a _{2} = 5$ $n = 3$일 때, $\displaystyle y = \frac{1}{6} x + \frac{1}{12}$이므로 $a _{3} = 7$ $a _{1} = 3 , a _{2} = 5 , a _{3} = 7 , \cdots$이므로 일반항은 $a _{n} = 2 n + 1$ $\displaystyle \therefore \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{a _{n}}{n} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{2 n + 1}{n} = 2$