종이 접기 선 길이

[출제의도] 피타고라스의 정리와 닮음의 성질을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기 정사각형 $\mathrm{ABCD}$를 접었다 펼치면 그림과 같다.

$\displaystyle \mathrm{\overline{MN}} = \overline{NC} = \mathit{x}$라 하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{DN}} = 24 - \mathit{x}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{AM}} = \overline{MD} = 12$이고 $\mathrm{\triangle} MND$가 직각삼각형이므로 $\left( 24 - x \right) ^{2} + 12 ^{2} = x ^{2}$, $x = 15$ ∴ $\displaystyle \mathrm{\overline{MN}} = 15$, $\displaystyle \mathrm{\overline{DN}} = 9$ $\mathrm{\triangle} APM \backsim \triangle DMN$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{AP}} : \overline{AM} = \overline{DM} : \overline{DN} = 4 : 3$ $\displaystyle \therefore \mathrm{\overline{AP}} = 16 , \overline{PM} = 20$ $\displaystyle \mathrm{\overline{B' P}} = \overline{B' M} - \overline{PM} = 4$ $\mathrm{\triangle} APM \backsim \triangle B' PQ$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{B}}' Q = 3 , \overline{PQ} = 5$ 점 $\mathrm{Q}$에서 변 $\mathrm{BC}$와 평행한 선을 그어 변 $\mathrm{DC}$와 만나는 점을 $\mathrm{R}$라 하면 삼각형 $\mathrm{NQR}$는 직각삼각형이다. $\displaystyle \mathrm{\overline{QR}} = 24 , \overline{NR} = 12$이므로 $l ^{2} = 24 ^{2} + 12 ^{2} = 720$ [별해]

${\mathrm{\angle} MCD} = x$라 하면 $\triangle \mathrm{MCN}$이 이등변삼각형이므로 ${\mathrm{\angle} MND} = 2 x$, ${\mathrm{\angle} CNQ} =$${\mathrm{\angle} MNQ} = 90 ^\circ - x$ 따라서 직각삼각형 $\mathrm{QRN}$에서 ${\mathrm{\angle} NQR} = x$이므로 $\triangle \mathrm{QRN} \equiv$$\triangle \mathrm{CDM}$ $\therefore l ^{2} = 24 ^{2} + 12 ^{2} = 720$