중학중학 미분류수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

종이 접기

문제

한 변의 길이가 4cm4 {\mathrm{cm}}인 정사각형 모양의 종이를 다음과 같이 차례로 접는다.

I\mathrm{I} 점 A{\mathrm{A}}와 점 D{\mathrm{D}}가 겹쳐지도록 접었다가 펴서 선분 AD{\mathrm{AD}}의 중점 M{\mathrm{M}}과 선분 BC{\mathrm{BC}}의 중점 N{\mathrm{N}}을 잡는다. 점 A{\mathrm{A}}와 점 M{\mathrm{M}}이 겹쳐지도록 접었다가 펴서 선분 AM{\mathrm{AM}}의 중점 E{\mathrm{E}}와 선분 BN{\mathrm{BN}}의 중점 F{\mathrm{F}}를 잡는다.
II\mathrm{II} 선분 AB{\mathrm{AB}} 위의 한 점 G{\mathrm{G}}에 대하여 선분 CG{\mathrm{CG}}를 접는 선으로 하여 점 B{\mathrm{B}}가 선분 EF{\mathrm{EF}} 위에 놓이도록 접는다.

선분 CG{\mathrm{CG}}의 길이가 acma {\mathrm{cm}}일 때, aa의 값은? (단, 종이의 두께는 고려하지 않는다.) [4점] ①8147\displaystyle \frac{8 \sqrt{14}}{7}②171414\displaystyle \frac{17 \sqrt{14}}{14}③9147\displaystyle \frac{9 \sqrt{14}}{7}④191414\displaystyle \frac{19 \sqrt{14}}{14}⑤10147\displaystyle \frac{10 \sqrt{14}}{7}

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①

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해설

점 B{\mathrm{B}}가 선분 EF{\mathrm{EF}} 위에 놓이는 점을 H{\mathrm{H}}라 하자. 종이가 접힌 모양에서 HC‾=BC‾=4\displaystyle {\overline{\mathrm{HC}}} = {\overline{\mathrm{BC}}} = 4 FC‾=BC‾−BF‾=4−1=3\displaystyle {\overline{\mathrm{FC}}} = {\overline{\mathrm{BC}}} - {\overline{\mathrm{BF}}} = 4 - 1 = 3 직각삼각형 HFC{\mathrm{HFC}}에서 피타고라스 정리에 의하여 HF‾2=HC‾2−FC‾2=42−32=7\displaystyle {\overline{\mathrm{HF}}} ^{2} = {\overline{\mathrm{HC}}} ^{2} - {\overline{\mathrm{FC}}} ^{2} = 4 ^{2} - 3 ^{2} = 7 HF‾=7\displaystyle {\overline{\mathrm{HF}}} = \sqrt{7} GH‾=x\displaystyle {\overline{\mathrm{GH}}} = x라 하면 종이가 접힌 모양에서 GB‾=GH‾=x\displaystyle {\overline{{\mathrm{GB}}}} = {\overline{\mathrm{GH}}} = x 점 G{\mathrm{G}}에서 선분 HF{\mathrm{HF}}에 내린 수선의 발을 G′{\mathrm{G}}'이라 하면 G′F‾=GB‾=x\displaystyle {\overline{{\mathrm{G}}' {\mathrm{F}}}} = {\overline{{\mathrm{GB}}}} = x, ≫′‾=BF‾=1\displaystyle {\overline{\gg'}} = {\overline{\mathrm{BF}}} = 1 그러므로 HG′‾=HF‾−G′F‾=7−x\displaystyle {\overline{{\mathrm{HG}}'}} = {\overline{\mathrm{HF}}} - {\overline{{\mathrm{G}}' {\mathrm{F}}}} = \sqrt{7} - x 직각삼각형 ≫′H\gg' {\mathrm{H}}에서 피타고라스 정리에 의하여 GH‾2=≫′‾2+HG′‾2=12+(7−x)2\displaystyle {\overline{\mathrm{GH}}} ^{2} = {\overline{\gg'}} ^{2} + {\overline{{\mathrm{HG}}'}} ^{2} = 1 ^{2} + \left( \sqrt{7} - x \right) ^{2} x2=12+(7−x)2\displaystyle x ^{2} = 1 ^{2} + \left( \sqrt{7} - x \right) ^{2} x2=x2−27x+8\displaystyle x ^{2} = x ^{2} - 2 \sqrt{7} x + 8 27x=8\displaystyle 2 \sqrt{7} x = 8, x=477\displaystyle x = \frac{4 \sqrt{7}}{7} 즉, GH‾=477\displaystyle {\overline{\mathrm{GH}}} = \frac{4 \sqrt{7}}{7} 직각삼각형 GCH{\mathrm{GCH}}에서 피타고라스 정리에 의하여 CG‾2\displaystyle {\overline{\mathrm{CG}}} ^{2}=HC‾2+GH‾2\displaystyle = {\overline{\mathrm{HC}}} ^{2} + {\overline{\mathrm{GH}}} ^{2}=42+(477)2=1287\displaystyle = 4 ^{2} + \left( \frac{4 \sqrt{7}}{7} \right) ^{2} = \frac{128}{7} 그러므로 선분 CG{\mathrm{CG}}의 길이는 8147cm\displaystyle \frac{8 \sqrt{14}}{7} {\mathrm{cm}} 따라서 a=8147\displaystyle a = \frac{8 \sqrt{14}}{7}

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#종이 접기#피타고라스 정리

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