확률과 통계이항정리수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

조합의 합 이항정리

문제

다음은 두 자연수 mm과 n(m<n)n ( m < n )에 대하여 mCm+m+1Cm+⋯+nCm{}_{m} C _{m} + _{m+1} C _{m} + \cdots + _{n} C _{m} 의 값을 이항정리를 이용하여 구하는 과정이다.

xx는 00이 아닌 실수라 하자. mCm{}_{m} C _{m}은 다항식 (1+x)m( 1 + x ) ^{m}에서 xmx ^{m}의 계수이다. m+1Cm{}_{m+1} C _{m}은 다항식 (1+x)m+1( 1 + x ) ^{m+1}에서 xmx ^{m}의 계수이다. ⋮ nCm{}_{n} C _{m}은 다항식 (1+x)n( 1 + x ) ^{n}에서 xmx ^{m}의 계수이다. 따라서 mCm+m+1Cm+⋯+nCm{}_{m} C _{m} + _{m+1} C _{m} + \cdots + _{n} C _{m} 은 다항식 □(가)\square {( \text{가} )} 에서 xmx ^{m}의 계수이다. 그러므로 mCm+m+1Cm+⋯+nCm=□(나){}_{m} C _{m} + _{m + 1} C _{m} + \cdots + _{n} C _{m} = \square {( \text{나} )} 이다.

위의 과정에서 (가)와 (나)에 알맞은 것을 차례로 나열한 것은? [4점] (가) (나) ①(1+x)n+1−(1+x)mx\displaystyle \frac{( 1 + x ) ^{n+1} - ( 1 + x ) ^{m}}{x} n+1Cm+1{}_{n+1} C _{m+1}②(1+x)n+1−(1+x)mx\displaystyle \frac{( 1 + x ) ^{n+1} - ( 1 + x ) ^{m}}{x} n+1Cm{}_{n+1} C _{m}③(1+x)n+1−(1+x)m( 1 + x ) ^{n+1} - ( 1 + x ) ^{m} n+1Cm{}_{n+1} C _{m}④(1+x)n+1−1x\displaystyle \frac{( 1 + x ) ^{n+1} - 1}{x} n+1Cm+1{}_{n+1} C _{m+1}⑤(1+x)n+1−1x\displaystyle \frac{( 1 + x ) ^{n+1} - 1}{x} n+1Cm{}_{n+1} C _{m}

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①

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해설

(1+x)m+(1+x)m+1+⋯+(1+x)n( 1 + x ) ^{m} + ( 1 + x ) ^{m+1} + \cdots + ( 1 + x ) ^{n} =(1+x)m{(1+x)n−m+1−1}1+x−1\displaystyle = \frac{( 1 + x ) ^{m} \left\{ ( 1 + x ) ^{n-m+1} - 1 \right\}}{1 + x - 1} =(1+x)n+1−(1+x)mx\displaystyle = \frac{( 1 + x ) ^{n+1} - ( 1 + x ) ^{m}}{x} …㉠ 이므로 mCm+m+1Cm+⋯+nCm{}_{m} C _{m} + _{m+1} C _{m} + \cdots + _{n} C _{m} 은 ㉠의 xmx ^{m}의 계수이다. 즉, 분자의 식에서 (1+x)n+1( 1 + x ) ^{n+1}의 전개식에서 xm+1x ^{m+1}의 계수이므로 mCm+m+1Cm+⋯+nCm=n+1Cm+1{}_{m} C _{m} + _{m+1} C _{m} + \cdots + _{n} C _{m} = _{n+1} C _{m+1}

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#이항정리#빈칸추론

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